Matematické Fórum

Pepa143 · 07. 12. 2009 11:46

Umí někdo sečíst (a popsat postup) téhle dvojné řady:
\sum_{m=1}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{((2*m-1)^2+(2*n-1)^2)}
zkusím to jako obrázek:

Díky předem

Marian · 07. 12. 2009 12:13 — Editoval Marian (07. 12. 2009 12:13)

↑ Pepa143:

Řekl bych, že tvá řada je divergentní. Pokud jsem teda neudělal chybu ve výpočtu. Momentálně nemám ale čas to probrat podrobně. Snad se někdo pokusí o řešení, eventuálně to své doplním v průběhu týdne.

Zároveň ale připomínám, že to co jsi napsal není dvojná řada, ale dvojnásobná řada. Je zapotřebí činit zásadní rozdíl mezi symboly
$\boxed{\sum_{m=1}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty}a_{m,n}}\qquad\boxed{\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{m=1}^{\infty}a_{m,n}}\qquad\text{a}\qquad\boxed{\sum_{(m,n)\in\mathbb{N}\times\mathb{N}}\nosmash a_{m,n}}.$

První dvě možnosti značí dvojnásobné řady s určeným pořadím sumace. Poslední případ pak značí dvojnou řadu (bez určení pořadí sumace nebo jiného jakéhokoliv pravidla). Ovšem v případě, že platí $a_{m,n}\ge 0$ pro všechna $(m,)n\in\mathbb{N}\times\mathbb{N}$ , lze dokonce zaměnit všechny tři znaky a psát mezi ně rovnítko (to je tvůj případ).

Pepa143 · 07. 12. 2009 13:06

↑ Marian:
Díky za názor, ale ta divergence se mi nezdá, podle fyzikální podstaty problému, který popisuje, by měla být řada konvergentní.

Rumburak · 07. 12. 2009 13:18

↑ Pepa143:

Na divergenci ukazuje srovnání s integrálem

$\int_{1}^{+\infty}\,\,\int_{1}^{+\infty}\,\,\frac{\text{d} x\,\text{d} y}{(2x-1)^2 +(2y-1)^2 }\,\, =\,\, +\infty$ .

Třeba je chyba v té fyzikální úvaze.

Marian · 07. 12. 2009 15:58 — Editoval Marian (07. 12. 2009 17:43)

Postupoval jsem takto:
$S=\sum_{m=1}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2m-1)^2+(2n-1)^2}=\sum_{m=1}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{4(m^2+n^2)-4(m+n)+2}\ge\nl \ge\sum_{m=1}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{4(m^2+2mn+n^2)-4(m+n)+2}=\sum_{m=1}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2(m+n)-1)^2+1}=\nl =\sum_{k=2}^{\infty}\quad\sum_{m+n=k}\frac{1}{(2(m+n)-1)^2+1}=\sum_{k=2}^{\infty}\frac{k-1}{(2k-1)^2+1}.$

Odtud divergence. Ve výpočtu využívám kladnost sčítanců řady.

Pavel · 07. 12. 2009 17:30

↑ Marian:

Nerozumím tomu kroku od sumy přes m,n k sumě přes k. Můžeš takto přeskupovat členy, když se jedná o dvě do sebe vložené nekonečné řady?

Marian · 07. 12. 2009 17:42

↑ Pavel:

V případě kladných sčítanců si to dovolit mohu. Viz třeba Šalát (Nekonečné rady) nebo Loya (Amazing Aspects ...). Viz můj příspěvek zcela nahoře - dvojná řada je potom identická s oběmi dvojnásobnými řadami.

Matematické Fórum

#1 07. 12. 2009 11:46

Součet dvojné řady

#2 07. 12. 2009 12:13 — Editoval Marian (07. 12. 2009 12:13)

Re: Součet dvojné řady

#3 07. 12. 2009 13:06

Re: Součet dvojné řady

#4 07. 12. 2009 13:18

Re: Součet dvojné řady

#5 07. 12. 2009 15:58 — Editoval Marian (07. 12. 2009 17:43)

Re: Součet dvojné řady

#6 07. 12. 2009 17:30

Re: Součet dvojné řady

#7 07. 12. 2009 17:42

Re: Součet dvojné řady

Zápatí