Matematické Fórum

thriller

Ahoj, není mi jasný důkaz následující věty

(Schwarzova nerovnost) Nech? X,Y jsou náhodné veličiny. Potom platí
$( E (XY ) )^2 \le E (X^2) E (Y^2)$

Důkaz. Definujme náhodnou veličinu Z = aX + Y , a \in R. Potom pro všechna a \in R
platí
$0 \le EZ^2 = E (aX + Y)^2 = E (a^2X^2 + 2aXY + Y^2) = a^2 EX^2 + 2a E (XY ) + E Y^2$ :
Dostali jsme tedy kvadratickou nerovnici v neznámé a, která platí pro všechna a \in R.
To ale znamená, že její diskriminant musí být menší nebo roven 0, tj.
$4( E (XY ))^2 - 4 EX^2 E Y^2 \le 0$
což je ekvivalentní dokazovanému tvrzení.

Nerozumím dobře tomu, že diskriminant musí být nekladný, poradíte?

jenom poznámka k tomu zápisu: EX znamená střední hodnota náhodné veličiny X

Kondr · 23. 01. 2008 11:24

Klíč je v té větě
"Dostali jsme tedy kvadratickou nerovnici v neznámé a, která platí pro všechna a \in R."
Graf té kvadratické funkce se může proto osy x pouze dotknout, takže hodnota té kvadratické funkce může být nulová jen v jednom bodě. Kvadratický polynom má nejvýše jeden kořen, pokud je jeho diskriminant nekladný.

thriller · 23. 01. 2008 11:40

óó, jak mě to mohlo nenapadnout. Díky!

Matematické Fórum

#1 23. 01. 2008 11:00 — Editoval thriller (23. 01. 2008 11:03)

Schwarzova nerovnost v pravdepodobnostnim prostoru

#2 23. 01. 2008 11:24

Re: Schwarzova nerovnost v pravdepodobnostnim prostoru

#3 23. 01. 2008 11:40

Re: Schwarzova nerovnost v pravdepodobnostnim prostoru

Zápatí