Matematické Fórum

Mějme 2 seznamy vektorů téhož prostoru W :

A = (a_1, a_2, ..., a_n)  ,     B = (b_1, b_2, ..., b_k)  ,

z nichž každý je lineárně nezávislý (speciálně to znamená, že každý prvek seznamu A se v něm vyskytuje nejvýše jedenkrát, 
obdobně o seznamu B) a předpokládáme, že dále platí

(1)    k < n ,
(2)    W je lineárním obalem seznamu A  (neboli A je seznamem generátorů prostoru W).

St. věta říká, že za těchto předpokladů lze v seznamu A nalézt  n - k  (tj. n minus k) navzájem různých vektorů takových,
že když jimi rozšíříme seznam B, vznikne seznam C, který bude lineárně nezávislý a zároveň prostor W bude jeho lineárním obalem.

Příklad ve W = R^3  :

a_1  :=  (1, 0, 0) , a_2  :=  (0, 1, 0),  a_3  :=  (0, 0, 1) ,

b_1 := (1, 1, 0) ,  b_2 := (1, -2, 0)   .

Pokud bychom k B := (b_1, b_2)  přidali a_1  nebo a_2 ,  tak by to nefungovalo, žádný ze seznamů  (b_1, b_2, a_1), (b_1, b_2, a_2)
vlastost seznamu C ze St. věty nemá (prvý i druhý je lin. závislý a žádný z nich negeneruje W).

Ale když k B přidáme a_3, tak to funguje, seznam C = (b_1, b_2, a_3)  je lineárně nezávslým seznamem generátorů prostoru W .

↑ Asinkan:
Předpokládám, že znáš jinou formulaci té věty, stejně jako já (jeden soubor generátorů, jeden LN soubor,.. - a věta říká, že z množiny generátorů lze vektory vyhazovat tak, že cosi platí). Rumburak předpokládá něco jiného než my, ale také něco jiného tvrdí.. Ve výsledku je to řekl bych stejné.

↑ Asinkan:, ↑ LukasM:
Máte pravdu, pánové, nešlo mi anitak o to citovat zmíněnou větu v té obecné versi, kde se u seznamu A lin. nezávislost nepředpokládá,
spíše mi šlo o to vystihnout podstatu, a zde mi připadalo názornější vzít onen speciální případ.