Matematické Fórum

Lancer · 18. 01. 2010 17:00

Na prepone AB pravouhlého rovnoramenného trojuholníka ABC sú dané také body M a K (K je medzi M, B), že veľkosť uhla MCK je 45°. Dokážte, že |MK|^2=|AM|^2+|KB|^2

Mohli by ste mi dat nejaku radu? Thanx.

FailED · 18. 01. 2010 19:16 — Editoval FailED (18. 01. 2010 19:19)

Nenapadá mně nic lepšího než vyjádřit si ty úseky přes sinovou větu a potom upravovat takovouhle zrůdnost. Snad někdo přijde s lepším řešením.
$\alpha=\angle BCK$ , $a$ je odvěsna.

zdenek1 · 19. 01. 2010 10:40

↑ Lancer:
Ono to nebude tak strašný.

Sinová věta
$\frac{AM}a=\frac{\sin(45-\alpha)}{\sin(90+\alpha)}=\frac{\cos\alpha-\sin\alpha}{\sqrt2\cos\alpha}$
$\frac{BK}a=\frac{\sin\alpha}{\sin(135-\alpha)}=\frac{sqrt2\sin\alpha}{\cos\alpha+\sin\alpha}$

$AM^2+BK^2=a^2\left[\frac{(\cos\alpha-\sin\alpha)^2}{2\cos^2\alpha}+\frac{2\sin^2\alpha}{(\cos\alpha+\sin\alpha)^2}\right]=\frac{a^2}{2\cos^2\alpha(\cos\alpha+\sin\alpha)^2}$

A také
$MK=\sqrt2a-AM-BK$
$MK=a\left[\sqrt2-\frac{\cos\alpha-\sin\alpha}{\sqrt2\cos\alpha}-\frac{sqrt2\sin\alpha}{\cos\alpha+\sin\alpha}\right]=a\left[\frac{2\cos^2\alpha+2\cos\alpha\sin\alpha-\cos^2\alpha+\sin^2\alpha-2\cos\alpha\sin\alpha}{\sqrt2\cos\alpha(\cos\alpha+\sin\alpha)}\right]=\frac{a}{\sqrt2\cos\alpha(\cos\alpha+\sin\alpha)}$

A $MK^2$ je jasné

Matematické Fórum

#1 18. 01. 2010 17:00

Geometricky priklad

#2 18. 01. 2010 19:16 — Editoval FailED (18. 01. 2010 19:19)

Re: Geometricky priklad

#3 19. 01. 2010 10:40

Re: Geometricky priklad

Zápatí