Matematické Fórum

Skrytý text:
Celková dráha, kterou uběhne pes je 124km.

Skrytý text:

Na začátku pes i pán jsou na jednom místě. Určitě správným řešením je spočítat si, jakou vzdálenost pes urazí, než se znova setká s pánem. Páne mezitím urazí také nějakou vzdálenost, takže pes v dalším kroku do dalšího setkání urazí o něco méně. Takto si můžeme tyto vzdálenosti rozepsat obecně do někonečné řady a tu poté sečíst. V úloze jde použít malý trik. Jakmile totiž pes se poprvé vrátí ke svému pánovi, můžeme si všimnout, že v podstatě začínáme úplně odznovu, akorát s menší dráhou. Co tedy platí, že je stejné pro první, druhý, třetí, tisícáty, cyklus? Pes při prvním cyklu urazil k*delší dráhu než pán. A přesně k*musí určitě urazit i při běhu od truhého setkání ke třetímu apod. Celková dráha psa tak bude k*větší než celková dráha pána. A o pánovi víme, že urazil 20km. Když si tedy spočítám k z rovnic:

Začínáme na dráze d. Čas prvního cyklu, kdy běžel pes tam bude t1 a kdy zpátky t2.








Dáme-li rovnice dohromady a vyjádříme k, dostaneme



Lze si povšimnout, že k opravdu nezávisí na d nebo t. Takže celková dráha psa bude k*d což dopovídá 124 km.

Správně příklad spočetli tito lidé

Lishaak (22.12.2008) - součtem geometrikcé řady
Cheop (29.12.2008) - součtem geometrické řady

Uznávám že sestavit řadu nebylo o tolik lehčí než ji potom jenom sečíst. Ale i tak to jde těsně před počítáním řady dokončit velmi jendoduše.

Dále jsem dostal řešení od Ivany, o kterém se přiznám nejsem moc schopný rozhodnou jestli je dobře nebo ne. Dostala se ke správnému výsledku 124km, ale nepochopil jsem příliš její postup a podle mezivýsledku, že pes za 1.hodinu uběhne 26km (což zkrátka není pravda) soudím že to až na výsledek správně není.

Pro Ivanu: Dostaneš-li se k tomu, mohla by si své řešení objasnit?

Skrytý text:



Dále víme, že pes běhal celkem 20/4=5 hodin:


Dráhy S a časy t jsou vázány rychlostmi (30 a 20 km/h):



Vyřešením těchto čtyř rovnic snadno zjistíte, že ten úžasný pejsek naběhal 72 km směrem tam a 52 km směrem zpět (tj. dohromady 124 km), že celkem běžel 2,4 hod směrem tam a 2,6 hod směrem zpět.