Matematické Fórum

Pavel · 05. 02. 2010 12:19

Dokažte, že každou geometrickou řadu

$\sum_{n=0}^\infty aq^n,\qquad |q|<1,\ a\in\mathbb R$

lze transformovat v teleskopickou řadu.

Marian · 05. 02. 2010 12:42 — Editoval Marian (05. 02. 2010 13:15)

Nejsem si jistý, zda-li jsem přesně porozuměl, ale zřejmě je zapotřebí k posloupnosti $\{ a\cdot q^n\}_{n=0}^{\infty}$ najít posloupnost $\{ b_{\ell}(q)\}_{\ell =0}^{\infty}$ takovou, že platí

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

jarrro · 05. 02. 2010 13:06 — Editoval jarrro (05. 02. 2010 17:39)

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Pavel · 05. 02. 2010 16:37

↑ Marian:, ↑ jarrro: - výborně.

Marian · 05. 02. 2010 17:22

↑ Pavel:

Postup, který uvádím, využívá de facto jednoduché vlastnosti součtové funkce řady (položím q=x)
$s(x):=\sum_{n=0}^{\infty}x^n,\qquad x\in\mathbb{C}:\quad |x|<1.$
Platí totiž
$x\cdot s(x)=-1+s(x).$

Odtud také uzavřený tvar součtové funkce a také idea pro teleskop. Jak je vidět, funkcionální rovnice jsou silným prostředkem pro řešení specifických úloh (viz třeba moje řešení v tématu Únorová sumace).

Matematické Fórum

#1 05. 02. 2010 12:19

Geometrický teleskop

#2 05. 02. 2010 12:42 — Editoval Marian (05. 02. 2010 13:15)

Re: Geometrický teleskop

#3 05. 02. 2010 13:06 — Editoval jarrro (05. 02. 2010 17:39)

Re: Geometrický teleskop

#4 05. 02. 2010 16:37

Re: Geometrický teleskop

#5 05. 02. 2010 17:22

Re: Geometrický teleskop

Zápatí