Matematické Fórum

r2d2 · 26. 02. 2010 09:17

Ahoj, mohl bych poprosit mám dvě funkce a mám zjistit zdali jdou spojitě dodefinovat. A novím, jak už to bývá, jestli to mám dobře.(?).

Vyšetřete, zda lze v bodě a=0 spojitě dodefinovat funci f, které je pro x!=0 dána předpisem:
A)
$f(x) \arctan\frac{1}{x^2}$
udělal jsem limitu
$\lim_{x\rightarrow0} \arctan\frac{1}{x^2}= \lim_{x\rightarrow \infty}\arctan x = \frac{\pi}{2}$
a za B)
$f(x)= \frac{1-\cos x}{x^3} \lim_{x \rightarrow 0}\frac{1-\cos x}{x^3}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-1}{"0"}="..$
...a tady jsem prohlásil, že to nelze řešit, tudíž tuto funkci nelze spojitě dodefinovat.
Nejsem si vůbec jistý, zda jsem postupoval správně(?). Proto píšu sem a většinou mi někdo poradí. Tak děkuji předem

jarrro · 26. 02. 2010 10:19

je to dobre len miesto nelze řešit by som povedal,že je rôzna limita zľava a sprava lebo je
$\lim_{x \rightarrow 0^{+}}\frac{1-\cos x}{x^3}=\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\frac{\sin^2{x}}{\left(1+\cos{x}\right)x^3}=\frac{1}{2}\lim_{x\to 0^{+}}{\frac{1}{x}}=\infty$ a
$\lim_{x \rightarrow 0^{-}}\frac{1-\cos x}{x^3}=\lim_{x\rightarrow 0^{-}}\frac{\sin^2{x}}{\left(1+\cos{x}\right)x^3}=\frac{1}{2}\lim_{x\to 0^{-}}{\frac{1}{x}}=-\infty$

Rumburak

Funkci lze v určitém bodě dodefinovat spojitě (oboustranně resp. zprava resp. zleva) právě tehdy,
existuje-li v tomto bodě vlastní limita (oboustranná resp. zprava resp. zleva).
Funkci pak spojitě (oboustranně resp. zprava resp. zleva) dodefinujeme hodnotou příslušné limity, což je zároveň jediný způsob,
jak tento úkol splnit.

Limita v úloze A je správně.

Limita v úloze B neexistuje, ale postup (nebo jeho zápis) nemáš správně. Řešil bych to třeba takto:

$\frac{1-\cos x}{x^3}=\frac{2\,\sin^2\,\frac{x}{2}}{x^3} = \frac{\sin^2\,\frac{x}{2}}{4$\frac {x}{2}$^3} =$\frac{\sin\,\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}$^2 \cdot \frac {1}{2x}$ ,

limita (v nule) toho zlomku v závorce je 1, limita druhého zlomku neexistuje (zprava je +oo, zleva -oo), limita součinu proto neexistuje.

EDIT. Jiný způsob zkoumání limity (vlaslně "nelimity") v úloze B předvedl kolega.

r2d2 · 26. 02. 2010 13:33

Díky mooooc,já věděl že mi někdo poradí:-) díky

Matematické Fórum

#1 26. 02. 2010 09:17

Spojité dodefinování funkcí

#2 26. 02. 2010 10:19

Re: Spojité dodefinování funkcí

#3 26. 02. 2010 10:33 — Editoval Rumburak (26. 02. 2010 10:57)

Re: Spojité dodefinování funkcí

#4 26. 02. 2010 13:33

Re: Spojité dodefinování funkcí

Zápatí