Matematické Fórum

pavelk · 14. 03. 2010 16:45 — Editoval pavelk (14. 03. 2010 18:16)

Dobry den,
dnes jsem vypocital poprve nejake limity posloupnosti, pro overeni pouzivam program Maxima, takze vysledky ktere mi hodil by mely byt spravne a muj cil byl nejak se k nim dopatrat. Uvedu priklady a nasledne jejich reseni - pouze bych chtel poprosit o skouknuti, jestli to pocitam spravne.

ad (1): $lim\frac{sqrt{n^3}-n+3}{2n-sqrt{n}}=lim\frac{n(n^{\frac12}-1+\frac3n)}{n(2-\frac{1}{n^{\frac{-1}{2}}})}=-\frac{1}{2}$
V druhem kroku pak vykratim n v citateli i jmenovateli pred zavorkou, odmocnina z n mi da nekonecno, nechavam -1 a 3/n bude 0.
Ve jmenovateli pak zbude 2 a ta skareda odmocnina taky nekonecno, oba nekonecna se vykrati - je to tak spravne ?
ad (2): $lim(sqrt{2n^2-1}-sqrt{3n^2+n})=lim(sqrt{n^2(2-\frac{1}{n^2}}-sqrt{n^2(3+\frac1n})=lim(n(sqrt{2-\frac{1}{n^2}}-sqrt{3+\frac1n}))$
Prvni odmocnina vychazi jako 1 a druha jako odmocnina ze 3 a to je mensi nez 0, protoze se vse prenasobuje n, tak je to minus nekonecno.
ad (3): vpodstate to stejne jako predchozi, akorat misto toho n bude $\frac{1}{n^2}$ z 1 a to je 1, pak z prvni odmocniny vyjde 1 a z druhe $sqrt{2}$ a to je mensi nez 0, takze opet minus nekonecno.
ad (4): $lim\frac{7^n+5^n-3^n}{7^{n+1}-2^n}=lim\frac{1+2^n}{7-2^n}=-\frac{1}{7}$
Tak a tady mi to nejak nevychazi, zrejme jsem zvolil spatny postup a delam si s cisly co se mi zachce :D Jak se zbavit toho minusu ? Nebo jaky je spravny postup ? - ma vyjit 1/7 ..
Predem vsem dekuji

Olin · 14. 03. 2010 17:14

V prvním je bohužel chyba už v úpravě - v závorce ve jmenovateli nemá být exponent -1/2, ale jen 1/2, takže to je
$\lim_{n \to \infty} \frac{n$ n^{1/2} - 1 + \frac 3n $}{n $2 - \frac{1}{n^{1/2}} $}$ .
Při takovémto postupu se ta vytknutá n pokrátí, čitatel jde k nekonečnu a jmenovatel jde ke dvojce, celkově tedy jde zlomek k nekonečnu. Argumentace "nekonečna se pokrátí" není při výpočtu limit přípustná - např. limita $\lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{n}$ taky "vychází" jako $\frac{\infty}{\infty}$ , ovšem zřejmě její hodnota není 1.

2) skoro správně, jen ta první odmocnina "není" jedna, ale "je" odmocnina ze dvou (a v té druhé odmocnině jsi asi omylem změnil znaménko). Každopádně ale výraz $$\sqrt{2-\frac{1}{n^2}}-\sqrt{3+\frac 1n} $$ konverguje k zápornému číslu, tudíž je celá limita $-\infty$ (v tomto případě je dokonce "košer" použít argumentaci $\infty \cdot (\sqrt{2}-\sqrt{3}) = - \infty$ ).

3) To není správně, ani výsledek ne. Je třeba se zbavit rozdílu odmocnin následujícím způsobem:
$\lim_{n \to \infty} $\sqrt{2n^2-1} - \sqrt{2n^2+1}$ = \lim_{n \to \infty} $\sqrt{2n^2-1} - \sqrt{2n^2+1}$ \cdot \frac{\sqrt{2n^2-1} + \sqrt{2n^2+1}}{\sqrt{2n^2-1} + \sqrt{2n^2+1}} = \nl = \lim_{n \to \infty} \frac{(2n^2-1)-(2n^2+1)}{\sqrt{2n^2-1} + \sqrt{2n^2+1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{-2}{\sqrt{2n^2-1} + \sqrt{2n^2+1}} = 0$ .

4) Standardní postup je podělit čitatele i jmenovatele členem o nejvyšším základu (neboli ho vytknout a pokrátit):
$\lim_{n \to \infty} \frac{7^n+5^n-3^n}{7^{n+1}-2^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{7^n \[ 1 + $ \frac 57 $^n - $ \frac 37 $^n \]}{7^n \[ 7 - $ \frac 27 $^n \]} = \lim_{n \to \infty} \frac{1 + $ \frac 57 $^n - $ \frac 37 $^n}{7 - $ \frac 27 $^n} = \frac 17$
(exponenciály jdou všechny k nule, protože je jejich základ menší než 1).

pavelk · 14. 03. 2010 17:57

↑ Olin:
Moc krat vam dekuji za vysvetleni .. Pri zpetne kontrole jsem zjistil, ze i to zadani jsem 2x natukal do toho programu spatne, takze je to jak pisete.
U toho prvniho prikladu jsem se jaksi spletl ..
U tretiho jsem se opet spatne podival a opsal jsem si priklad s trojkou jako v 2. prikladu.
U ctvrteho me nenapadl elegantni zpusob jak vytknout tu 7 a vpodstate je to jedno a to same.

Přemek · 20. 09. 2010 15:11

U toho čtvrtého příkladu? Jaktože když máš pět sedmin na N tak je to nula? To je tak vždycky, pokud je zlomek na N menší než 1?

teolog · 20. 09. 2010 15:24

↑ Přemek:
Přesně tak. Pokud je číslo kladné a menší než nula, tak se umocňováním ještě zmenšuje. A pro n jdoucí do nekonečna se mocnina limitně blíží nule.

Matematické Fórum

#1 14. 03. 2010 16:45 — Editoval pavelk (14. 03. 2010 18:16)

Limita posloupnosti

#2 14. 03. 2010 17:14

Re: Limita posloupnosti

#3 14. 03. 2010 17:57

Re: Limita posloupnosti

#4 20. 09. 2010 15:11

Re: Limita posloupnosti

#5 20. 09. 2010 15:24

Re: Limita posloupnosti

Zápatí