Matematické Fórum

Olin · 28. 03. 2010 23:01

Zdravím,

dneska mi během cesty vlakem vytanula na mysli následující otázka: je opravdu

$\int \frac{\mathrm{d}x}{x} = \ln|x| + C$ ?

Učí se to na středních školách a určitě i na mnoha vysokých, naleznete to v každých tabulkách (teď jsem kontroloval Bartsche)… Ale 1/x přece není funkce definovaná na celém $\mathbb{R}$ , primitivní funkce k ní tedy může mít tvar

$\ln|x| + \begin{cases} C_1 & \text{pro } x>0 \nl C_2 & \text{pro } x<0 \end{cases}$

kde $C_1,\, C_2 \in \mathbb{R}$ . Nic nenutí k tomu, aby platilo $C_1 = C_2$ .

Co je tedy důvodem této zásadní nepřesnosti?

Pavel Brožek · 28. 03. 2010 23:18

Pokud si dobře pamatuji, tak jsme si primitivní funkci definovali na intervalu. Pak tenhle problém odpadá a konstanta je vždy jen jedna.

pietro · 29. 03. 2010 10:34

↑ Olin: myslim , ze nie sme schopni formalnym zapisom postihnut vzdy realitu v celej jej komplikovanosti.. :(

Rumburak

↑ Olin:

1. Souhlas s tím, co píše kolega ↑ BrozekP:.

Vzorec
(1) $\int \frac{\mathrm{d}x}{x} = \ln|x| + C$
je platný na každém intervalu, který neobsahuje nulu .

2. Kolega ↑ pietro: má dozajista pravdu, pokud jde o realitu v oblastech mimo matematiku.

Pokud jde o realitu v matematice (= "virtuální realitu" v oblasti společenské hry zvané matematika), pak mám jiný názor.
Domnívám se, že "dobrá matematika" se vyznačuje tím, že tento druh reality UMÍ popsat beze zbytku.

EDIT. Po hlubším zamyšlení beru svůj poslední výrok zpět. Přesto si nemyslím, že by se tato "godelovská" otázka týkala vrorce (1).

Olin · 29. 03. 2010 16:53

Děkuji za odpovědi, již je mi to jasné. Zřejmě mě vykolejila poněkud obecnější konvence značení, kterou jsme si zavedli na přednášce (str. 74).

Matematické Fórum

#1 28. 03. 2010 23:01

Metodická otázka k integrálu z 1/x

#2 28. 03. 2010 23:18

Re: Metodická otázka k integrálu z 1/x

#3 29. 03. 2010 10:34

Re: Metodická otázka k integrálu z 1/x

#4 29. 03. 2010 11:00 — Editoval Rumburak (29. 03. 2010 11:24)

Re: Metodická otázka k integrálu z 1/x

#5 29. 03. 2010 16:53

Re: Metodická otázka k integrálu z 1/x

Zápatí