Matematické Fórum

byk7 · 29. 03. 2010 16:30 — Editoval byk7 (30. 04. 2010 23:49)

Dobré pondělní odpoledne,

"Najděte definiční obor a obor hodnot funkce $\HUGE f(x)=\frac{x}{x+\frac{x}{x+\frac{x}{x+\frac{x}{x+\frac{x}{x+\ddots}}}}}$ .
Přeji pěkné odpoledne.

pietro · 13. 05. 2010 21:22 — Editoval pietro (13. 05. 2010 21:24)

↑ byk7:Ahoj..uz dlhsie obchadzam okolo tohoto krasneho Tvojho zadania...no zatial som sa zmohol len na Df x<>0......potom z menovatela vyjmeme x , skratime s citatelom a dostaneme miesto x jednotky atd. nemáš ďalšie námety? obmedzenia ?...

Pavel · 14. 05. 2010 13:01

Co tak využít identity

$f(x)=\frac{x}{x+f(x)}$ ?

Honzc · 14. 05. 2010 14:27

↑ Pavel:
Dobrý nápad.
Potom můžeme rovnici upravit na (pro f(x)=y)
y^2+xy-x=0
Omezíme-li se na na x>0
dostaneme y=f(x)=x(sqrt(1+4/x)-1)/2

Honzc · 14. 05. 2010 14:34 — Editoval Honzc (14. 05. 2010 14:35)

Lépe napsáno:

$y=\frac{x}{x+y}$
$y^2+yx-x=0$
$f(x)=\frac{x}{2}(sqrt(1+\frac4x)-1)$

Honzc · 14. 05. 2010 14:38

Ještě jednou.
Pro x=1 opravdu s využitím vypočítaného vztahu dostaneme f(x)=fí-1, kde fí je zlatý poměr

Rumburak

Otázka k zamyšlení: Dokázal by někdo podat korektní definici řetězového zlomku

$\HUGE \frac{x}{x+\frac{x}{x+\frac{x}{x+\frac{x}{x+\frac{x}{x+\ddots}}}}}$ ?

Pavel · 14. 05. 2010 15:36

↑ Rumburak:

Co např. takto?

$\large f_1(x):=x,\quad f_{n+1}(x):=\frac{x}{x+f_n(x)}\qquad n\in\mathbb{N}.$

Pak definujme

$f(x):=\lim_{n\to\infty}f_n(x).$

Rumburak

↑ Pavel:
Řetězové zlomky jsem nikdy nestudoval, Tebou podaná definice mi připadá věrohodná :-).

Šlo mi o to, že ve středoškolské matematice, do níž tato úloha zde byla zařazena, se ŘT neprobírají - leda snad "nadplán" jako zajímavost -
a jak oba víme, pracovat s infinitezimálními pojmy intuitivně bývá často zrádné. Proto jsem otázku definice nadhodil - a poctivě přiznám,
že sám jsem si chtěl rozšířit obzor, za což díky. :-).

Chrpa · 14. 05. 2010 16:21 — Editoval Chrpa (14. 05. 2010 16:21)

↑ Honzc:

Lépe napsáno: $f(x)=\frac{x}{2}\left(sqrt(1+\frac4x)-1\right)$

pietro · 15. 05. 2010 14:18

↑ Pavel: Dobrý deň, môžeme ? sa na to pozerať ako na nelinear.diferenčnú rovnicu?....a ako ju riešiť potom==> fn.... aspoň náznak....

Pavel · 15. 05. 2010 16:24

↑ pietro:

Můžeme toto probrat podrobněji, jen mám obavy, že toto vysoce přesahuje rámec střední školy. Pokud bychom měli být důkladní, tak je třeba nejdříve dokázat, že posloupnost funkcí tak, jak jsem ji definoval, je opravdu konvergentní a specifikovat, pro která x tomu tak je. Bez těchto úvah se bezhlavé použití limitního přechodu tak, jak jsem ho navrhl, může minout účinkem. Jako příklad uvádím

$f_{n+1}(x)=\frac{x}{f_n(x)}$

kde limitním přechodem bychom došli k chybnému závěru, že $f(x):=\lim_{n\to\infty}f_n(x)=\sqrt{x}$ .

pietro · 15. 05. 2010 16:47

↑ Pavel:ďakujem za objasnenie a určenie nových tém... zatiať by som si chcel poriešiť iba tú diferenčnú...a potom uvidíme ďalej... prajem pekný zbytok vikendu...

Marian · 15. 05. 2010 17:48

↑ Rumburak:

Tento dataz je velmi správný a je jen škoda, že nebyl položen někým jiným již dříve. Výrazům se musí nejprve přisoudit v definicích jejich jedinečný smysl.

Teorie řetězových zlomků dává mimořádně plodné aplikace v oblasti teorie čísel (konstrukce transcendentních čísel, studium diofantických aproximací, řešení Pellovy rovnice a mnoho dalších). Ke studiu řetězových zlomků mohu doporučit Chinčinovu knížku Řetězové zlomky - vyšla i v češtině. Pokud ji neseženete v knihovnách, můžete si ji stáhnout zde (PDF). Další mimořádně zajímavé čtení potom neleznete v Loyově knížce (PDF, free).

Rumburak · 17. 05. 2010 10:01

↑ Marian:
Děkuji za informace, Chinčina jsem si stáhnul.
Pokud jde o druhou publikaci, již z běžného nahlédnutí do ní mohu potvrdit, že je opravdu mimořádně zajímavá.
Kéž najdu dostatek času ke studiu ...

Olin · 17. 05. 2010 13:05

Snad nebudu moc OT, ale chtěl bych vaši diskusi o řetězových zlomcích a (ne)definovaných výrazech obohatit o následující kus:
$\frac{1+\frac{1+\frac{1+\dots}{1-\dots}}{1-\frac{1+\dots}{1-\dots}}}{1-\frac{1+\frac{1+\dots}{1-\dots}}{1-\frac{1+\dots}{1-\dots}}}$
Zkuste spočítat hodnotu :-)

frank_horrigan · 17. 05. 2010 13:56

↑ Olin:

Já jsem nepolíbený řetezovými zlomky, ale kdyz zkusím uvažovat logicky, jde o zlomek 1+nekonečně malé číslo / 1-nekonečně malé číslo, v R je nekonečně malé číslo reprezentováno nulou, takže $\frac{1+0}{1-0} = \frac11 = 1$ . Je to jenom logická úvaha, asi nevystihla pravý smysl příkladu, ale logicky vzato by to mělo platit :)

Rumburak

Ad ↑ Olin:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Pavel · 17. 05. 2010 15:52 — Editoval Pavel (17. 05. 2010 15:54)

↑ Rumburak:, ↑ Olin:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Pavel · 17. 05. 2010 16:26

Ještě zajímavější je zkoumat výraz

$\Large \frac{1-\frac{1-\frac{1-\dots}{1+\dots}}{1+\frac{1-\dots}{1+\dots}}}{1+\frac{1-\frac{1-\dots}{1+\dots}}{1+\frac{1-\dots}{1+\dots}}}$

Kdo se pokusí?

Pavel Brožek · 17. 05. 2010 16:51

↑ Pavel:

Označím
$a_0=x\nl a_{n+1}=\frac{1-a_n}{1+a_n}$

Pro $x=-1$ už $a_1$ nemá smysl. Pro ostatní $x$ platí

$a_{n+2}=\frac{1-\frac{1-a_n}{1+a_n}}{1+\frac{1-a_n}{1+a_n}}=\frac{1+a_n-1+a_n}{1+a_n+1-a_n}=a_n$

Aby tedy limita existovala, muselo by platit

$x=\frac{1-x}{1+x}$

To platí pouze pro $x=-1\pm\sqrt{2}$ . Záleží tedy na tom, s čím začneme.

Pavel · 17. 05. 2010 17:06 — Editoval Pavel (17. 05. 2010 17:06)

Přesně tak. Velmi záleží na tom, jaká je počáteční hodnota $a_0$ . Pro ostatní hodnoty limita neexistuje. Výraz $\Large \frac{1-\frac{1-\frac{1-\dots}{1+\dots}}{1+\frac{1-\dots}{1+\dots}}}{1+\frac{1-\frac{1-\dots}{1+\dots}}{1+\frac{1-\dots}{1+\dots}}}$ tak, jak je napsán, není korektně definován - není dáno pravidlo, jak jej počítat.

jarrro · 19. 05. 2010 18:01 — Editoval jarrro (12. 12. 2019 21:30)

↑ Pavel:len sa chcem uistiť či pre postupnosť danú rekurentne
$f_{n+1}{$x$}=\frac{x}{f_n{$x$}}$
platí
$f_{n}{$x$}=x^{\frac{$-1$^{n+1}+1}{2}}f_0{$x$}^{$-1$^n}$

Pavel · 20. 05. 2010 13:57 — Editoval Pavel (20. 05. 2010 13:57)

↑ jarrro:

Máš tám drobnou chybu, má to být takto:

$f_n(x)=x^{\frac{\left(-1\right)^{n+1}+1}{2}}\left(f_0\left(x\right)\right)^{\left(-1\right)^n$

jarrro · 20. 05. 2010 18:23

↑ Pavel:pravda tak som to myslel zle som dal zátvorku díky

Matematické Fórum

#1 29. 03. 2010 16:30 — Editoval byk7 (30. 04. 2010 23:49)

Funkce

#2 13. 05. 2010 21:22 — Editoval pietro (13. 05. 2010 21:24)

Re: Funkce

#3 14. 05. 2010 13:01

Re: Funkce

#4 14. 05. 2010 14:27

Re: Funkce

#5 14. 05. 2010 14:34 — Editoval Honzc (14. 05. 2010 14:35)

Re: Funkce

#6 14. 05. 2010 14:38

Re: Funkce

#7 14. 05. 2010 14:42 — Editoval Rumburak (14. 05. 2010 14:46)

Re: Funkce

#8 14. 05. 2010 15:36

Re: Funkce

#9 14. 05. 2010 16:03 — Editoval Rumburak (14. 05. 2010 16:16)

Re: Funkce

#10 14. 05. 2010 16:21 — Editoval Chrpa (14. 05. 2010 16:21)

Re: Funkce

#11 15. 05. 2010 14:18

Re: Funkce

#12 15. 05. 2010 16:24

Re: Funkce

#13 15. 05. 2010 16:47

Re: Funkce

#14 15. 05. 2010 17:48

Re: Funkce

#15 17. 05. 2010 10:01

Re: Funkce

#16 17. 05. 2010 13:05

Re: Funkce

#17 17. 05. 2010 13:56

Re: Funkce

#18 17. 05. 2010 14:36 — Editoval Rumburak (17. 05. 2010 14:45)

Re: Funkce

#19 17. 05. 2010 15:52 — Editoval Pavel (17. 05. 2010 15:54)

Re: Funkce

#20 17. 05. 2010 16:26

Re: Funkce

#21 17. 05. 2010 16:51

Re: Funkce

#22 17. 05. 2010 17:06 — Editoval Pavel (17. 05. 2010 17:06)

Re: Funkce

#23 19. 05. 2010 18:01 — Editoval jarrro (12. 12. 2019 21:30)

Re: Funkce

#24 20. 05. 2010 13:57 — Editoval Pavel (20. 05. 2010 13:57)

Re: Funkce

#25 20. 05. 2010 18:23

Re: Funkce

Zápatí