Matematické Fórum

Daniela_H

Ahoj,
máme za úkol vypočítat Taylorovo řadu z $e^{-3x^2}$ , když $x_0 = 0$ a některé věci jsou mi nejasné. Budu velice ráda, pokud mi někdo zkušenější poradí.

Vyšlo mi:
$T_{0(x)} = 1$
$T_{1(x)} = 1$
$T_{2(x)} = 1 - \frac {6x^2}{2!}$
$T_{3(x)} = 1 - \frac {6x^2}{2!}$
$T_{4(x)} = 1 - \frac {6x^2}{2!} + \frac {108x^4}{4!}$
$T_{5(x)} = 1 - \frac {6x^2}{2!} + \frac {108x^4}{4!}$

Dále jsem nepočítala.

Moje otázky:
1) Když mi takto vyjdou členy T1, T3 a T5 nulové (respektive stejné jako členy předchozí), tak to znamená, že je do Taylorovo rozvoje nemám brát v potaz, a tím pádem se z T2 stává T1, z T4 se stává T2 atd. ?
2) Jak mám nyní z mého výpočtu dostat zmiňovanou Taylorovu řadu? A jak tedy bude v mém případě vypadat?
3) Kolik členů mi vždy stačí spočítat, aby mne při tvoření T řady pak již nezaskočila třeba nějaká změna, která by se projevila až při vyšších členech? Stačí u mého příkladu výpočet do členu T5 k správnému určení T řady?
4) Existuje nějaký efektivnější postup pro výpočet T řady?

Děkuji mnohokrát za každou odpověď.

Kondr · 05. 04. 2010 20:56

Daniela_H napsal(a):
1) Když mi takto vyjdou členy T1, T3 a T5 nulové (respektive stejné jako členy předchozí), tak to znamená, že je do Taylorovo rozvoje nemám brát v potaz, a tím pádem se z T2 stává T1, z T4 se stává T2 atd. ?

Ne, takhle to nefunguje.

Daniela_H napsal(a):
2) Jak mám nyní z mého výpočtu dostat zmiňovanou Taylorovu řadu? A jak tedy bude v mém případě vypadat?

No asi nejrychlejší je vypočíst taylorovu řadu pro $e^y$ a pak za y dosadit $-3x^2$ .
Vyjde to jako $\sum \frac{(-3x^2)^n}{n!}$ . Jinak si musíš všimnout nějakých závislostí mezi derivacemi a z nich to dokázat.

Daniela_H napsal(a):
3) Kolik členů mi vždy stačí spočítat, aby mne při tvoření T řady pak již nezaskočila třeba nějaká změna, která by se projevila až při vyšších členech? Stačí u mého příkladu výpočet do členu T5 k správnému určení T řady?

No spíš "čím víc členů, tím větší šance, že si všimneš závislosti". Ale ta vyplyne spíš z algoritmu než z konkrétních hodnot.

Daniela_H · 05. 04. 2010 23:10

S tou substitucí je to dobrý napád. Když řikáš "vypočíst taylorovu řadu", myslíš můj postup, kdy si zjistíš prvních pár členů a pak z toho vykoukáš řadu, nebo je i nějaký efektivnější výpočet?

Pokud můj příklad změním na $x^4e^{-3x^2}$ , provedeš substituci na $x^4e^y$ , nebo nahradíš nějak i $x^4$ ? U tohoto příkladu je totiž nenulový až člen $T_{4(x)}$ , takže jestli se nedá ušetřit čas na zbytečném derivování?

Stýv · 05. 04. 2010 23:40

zrovna u exponenciely snad nic snažšího než derivovat být nemůže. zato třeba u fce 1/(1-x) je lepší si všimnout, že je to součet geometrický řady než se patlat s derivacema

u $x^4e^{-3x^2}$ stačí spočítat tu řadu pro $e^{-3x^2}$ a pak vynásobit $x^4$

Daniela_H · 06. 04. 2010 00:16

Stýv napsal(a):
...zato třeba u fce 1/(1-x) je lepší si všimnout, že je to součet geometrický řady než se patlat s derivacema

Tomu nerozumím. Můžeš nastínit, jak to lze provést bez derivací?

Stýv napsal(a):
u $x^4e^{-3x^2}$ stačí spočítat tu řadu pro $e^{-3x^2}$ a pak vynásobit $x^4$

Takže když výsledek pro $e^{-3x^2}$ je $\sum \frac{(-3x^2)^n}{n!}$ tak pro $x^4e^{-3x^2}$ je $\sum \frac{x^4(-3x^2)^n}{n!}$ ?? Asi jsem to špatně pochopila.

Stýv · 06. 04. 2010 00:56

ze střední školy bys měla vědět, že $\sum_{n=0}^{\infty}x^n=\frac1{1-x}$ pro $|x|\lt1$

pochopilas správně

Daniela_H · 06. 04. 2010 09:15

Když si ale zpětně kontroluji ten výsledek $\sum \frac{x^4(-3x^2)^n}{n!}$ , tak mi to nevychází. Je to určitě dobře, tak jak jsem to napsala?

Matematické Fórum

#1 05. 04. 2010 20:17 — Editoval Daniela_H (05. 04. 2010 20:41)

Taylorova řada

#2 05. 04. 2010 20:56

Re: Taylorova řada

Daniela_H napsal(a):

Daniela_H napsal(a):

Daniela_H napsal(a):

#3 05. 04. 2010 23:10

Re: Taylorova řada

#4 05. 04. 2010 23:40

Re: Taylorova řada

#5 06. 04. 2010 00:16

Re: Taylorova řada

Stýv napsal(a):

Stýv napsal(a):

#6 06. 04. 2010 00:56

Re: Taylorova řada

#7 06. 04. 2010 09:15

Re: Taylorova řada

Zápatí