Matematické Fórum

Cermix · 11. 04. 2010 23:18 — Editoval Cermix (11. 04. 2010 23:20)

Vzhledem k tomu, že jsem na fyziku nesáhl hodně dlouho a chystám se jít studovat právě fyziku, zkusil jsem jeden takový příklad.
Koule je vystřelena pod úhlem 45° rychlostí 20 m/s. Jak daleko koule doletí, když místo odpalu i dopadu leží stejně vysoko?. vyšlo mi 40 metrů, ale zdá se mi to nějak málo.
Odpor vzduchu a takové věci zanedbáváme.

Pavel Brožek · 11. 04. 2010 23:22

Vyšlo mi to stejně.

Cermix · 12. 04. 2010 11:10

↑ BrozekP:
Díky.
Takže náboj ze sniperky, která má počáteční rychlost 1100 m/s (kdo by nevěřil: http://en.wikipedia.org/wiki/.408_Chey_Tac ) má teoretický dolet (pokud je vystřelena pod úhlem 45°) 121 km?

zdenek1 · 12. 04. 2010 13:56

↑ Cermix:
Ano, ve vzduchoprázdnu.

Cermix · 12. 04. 2010 15:10

↑ zdenek1: Kdyby bylo na Zemi vzduchoprázdno a někdo vystřelil po úhlem 45°, nedoletěla by ještě dál? přecejenom ve větší výšce je působení gravitace menší..

zdenek1 · 12. 04. 2010 16:31

↑ Cermix:
Asi ano.
ALe když vypočítáš výšku v homogenním gr. poli, vyjde ti asi 30 km.
Závislost gr. zrychlení na výšce je $g(h)=G\frac{M_z}{(R+h)^2}$
poměr $\frac{g(30\ km)}{g(0)}=\left(\frac{R}{R+h}\right)^2=\left(\frac{6370}{6400}\right)^2=0,99$
Takže odchylka tam nějaká bude, ale odhadl bych to na desítky metrů.

Cermix · 12. 04. 2010 23:22

jaks zjistil ten výšku při které bude ta střela nejvýše? Mě vyšlo, že kdybych z té sniperky vystřelil kolmo vzhůru, tak dostřelí do výšky asi 605 km, ale to je asi nějaká blbost..

medvidek · 12. 04. 2010 23:36

Dalším faktorem prodlužujícím dráhu šikmého vrhu by bylo zakřivení povrchu Země. Přesněji by se to ale řešilo jako tzv. Keplerova úloha. Výsledkem bude eliptická trajektorie. Bodem dopadu by byl průsečík trajektorie s povrchem Země. Pokud započteme i rotaci Země, v řešení bude již zahrnut i vliv Coriolisovy síly. Při svislém výstřelu z pořádné sniperky (zejména ve vakuu) bude tento vliv dost významný. Tedy ne asi na výšku, ale na místo dopadu.

Keplerova úloha:
http://cs.wikipedia.org/wiki/Keplerova_%C3%BAloha

medvidek

↑ Cermix:
Mělo by Ti vyjít 60,5 km.

EDIT: Těch 30 km, které uvádí Zdenek1, bude zřejmě pro úhel 45 stupňů.

zdenek1 · 13. 04. 2010 07:34

↑ medvidek:
Ano, těch 30 km je pro 45°.

Cermix · 13. 04. 2010 13:37 — Editoval Cermix (13. 04. 2010 13:38)

↑ medvidek:
Proč je to 60,5? Ukážu můj postup:
nejdříve si vypočtu dobu letu ze vzorce $v_t=v_0-gt$ Položím si $v_t=0$ a vypočtu $t=110s$
No a pak ze vzorce $s=\frac12gt^2$ si vypočtu dráhu.
$v_t$ je okamžitá rychlost v čase t a $v_0$ je počáteční rychlost.

Cermix · 13. 04. 2010 14:02

Tak už vím kde mám chybu.. 110 na druhou není 121 000 ale 12 100, jedna nula a co to udělá

Cermix · 15. 04. 2010 18:00

Když bychom teda chtěli vzít v potaz změnu gravitačního působení v závislosti na výšce, tak by se to dělalo jak? určitě bychom nemohli vzít sílu gravitace ve 30ti kilometrech a nějak to s tím dopočítat, myslím, že by se tam použil nějaký ten integrál..

KennyMcCormick · 15. 04. 2010 20:41

Chceš počítat dolet koule z prvního příspěvku, nebo toho náboje, o kterém jsi psal potom?

Cermix · 16. 04. 2010 13:30

↑ KennyMcCormick:
náboje.

Cermix · 18. 04. 2010 20:23

Napadá teda někoho něco?

medvidek

↑ Cermix:
Pohyb tělesa v nehomogenním gravitačním poli popisuje rovnice
$\frac{d^2\vec r(t)}{dt^2}=\vec g(\vec r)$ , kde $\vec g(\vec r)$ je gravitační zrychlení v místě $\vec r$ .

V případě homogenního gravitačního pole a vhodnou volbou souřadnicové soustavy se tato rovnice zjednoduší na
$\frac{d^2\vec r(t)}{dt^2}=\left (0, -g, 0 \right )$ .
Rešením jsou známé vztahy pro rychlost a polohu
$\vec v(t)=\frac{d \vec r(t)}{dt}=\vec v(0) \ + \ \left (0, -gt, 0 \right )$
$\vec r(t)=\vec r(0) \ + \ \vec v(0)t \ + \ \left (0,-\frac{1}{2}gt^2, 0 \right )$ ,
kde $\vec r(0)$ a $\vec v(0)$ jsou počáteční podmínky.

Pokud ale bude gravitační zrychlení záviset na výšce tak, jak popisuje zdenek1 v příspěvku #6, dostaneme rovnici
$\frac{d^2\vec r(t)}{dt^2}=\left (0, -g(0)\left (\frac{R}{R+y} \right)^2, 0 \right )$ , kde $g(0)$ je gravitace na povrchu Země a $R$ je poloměr Země.

Problém tedy spočívá ve vyřešení diferenciální rovnice
$\frac{d^2 y}{dt^2}=-g(0)\left (\frac{R}{R+y} \right)^2$