Matematické Fórum

Ferdish · 26. 04. 2010 20:47

$\frac12\int_0^{\frac\pi2}ln(1+sin^2x)dx$
Lamem si hlavu so substituciou, no neviem na to prist. Diky za akukolvek pomoc.

N3st4 · 26. 04. 2010 20:55

Zdravim. Len tak sfleku tipujem per partes, pricom derivovany clen je "x". Nie som si isty. Skusit to mozes. Mozno ti niekto pomoze viac. Dal som len napad, viac casu nemam :)

Tychi · 26. 04. 2010 20:57

nemáš v zadání překlep? vychází to dost šíleně

lukaszh · 26. 04. 2010 21:28

↑ Ferdish:

Nezaručujem, že postup niekam vedie. Videl som tento typ integrálu (logaritmus v kombinácií s goniometrickou funkciou) dobre riešiť pomocou parametrických integrálov. Budeme uvažovať funkciu

$\varphi(x,y)=\ln(y+\sin^2x)$

Zderivujme uvedenú funkciu podľa y
$\frac{\partial\varphi(x,y)}{\partial y}=\frac{1}{y+\sin^2x}$

Potom pre našu pôvodnú funkciu platí rovnosť
$\ln(1+\sin^2x)=\int_{\cos^2x}^{1}\frac{\partial\varphi(x,y)}{\partial y}\,\rm{d}y=\int_{\cos^2x}^{1}\frac{1}{y+\sin^2x}\,\rm{d}y$

Potom máme
$I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln(1+\sin^2x)\,\rm{d}x=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{\cos^2x}^{1}\frac{1}{y+\sin^2x}\,\rm{d}y\rm{d}x$

Teraz zameníme hranice integrovania.

Odtiaľ máme
$I=\int_{0}^{1}\int_{\arccos(\sqrt{y})}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{y+\sin^2x}\,\rm{d}x\rm{d}y$

Toto nebudem počítať, nakoľko neviem, či sa to bude dať spočítať. Ale za pokus to stojí.

stenly · 26. 04. 2010 21:29

↑ Ferdish:

Ferdish

Neviem, mozno je tam niekde chyba...tento integral som dostal ako medzivysledok. Povodnou ulohou bolo zintegrovat tento integral:
$\int_0^{\frac\pi2}\frac{t.sint.cost}{1+sin^2t}dt$
Riesil som per partes, za nederivovanu fciu (u) som dosadil $t$ a za derivovanu (v') zlomok $\frac{sint.cost}{1+sin^2t}$ .
Riesenie je $[\frac12t.ln(sin^2t+1)]od0po{\frac\pi2}-\frac12\int_0^{\frac\pi2}ln(sin^2t+1)dt$ , kde je zrejme ze podintegralna fcia je riesenim integracie fcie v'. A prave ten druhy clen vysledku mi robi problem.

Matematické Fórum

#1 26. 04. 2010 20:47

Integrál

#2 26. 04. 2010 20:55

Re: Integrál

#3 26. 04. 2010 20:57

Re: Integrál

#4 26. 04. 2010 21:28

Re: Integrál

#5 26. 04. 2010 21:29

Re: Integrál

#6 26. 04. 2010 21:50 — Editoval Ferdish (26. 04. 2010 21:52)

Re: Integrál

Zápatí