Matematické Fórum

byk7 · 01. 05. 2010 18:02

Dobrý podvečer,

ve škole jsem řešil úlohu,
se kterou si nevím rady.

Sestrojte rovnoramenný trojúhelník, jehož rameno měří 3 cm a poloměr kružnice vepsané je 1 cm.

Zkoušel jsem:
- kružnice se středem O a poloměrem 1 cm
- dvě rovnoběžné přímky (tečny)
- kolmice na přímky, tečna

a teď nevím co dál.

Prosím poraďte.
Děkuji

frank_horrigan

↑ byk7:

Zkusil bych vyuzit vztahu $http://upload.wikimedia.org/math/8/6/6/86619fa11dcb9bd435a1cfc830202a7b.png$ kde malé s je polovina obvodu. Poloměr znáš, hledáš tedy stranu, kterou vyjádříš z heronova vzorce, sestavíš rovnici, kde si položíš roven obsah z heronova vzorce a obsah vyjádřený z poloměru vepsané kruřnice. Je to brainstorming, nevim jestli to půjde, ale skusím to takto spočítat :)

$S=sqrt{(\frac{10+a}{2})(\frac{10+a}{2}-a)(5-\frac{10+a}{2})(5-\frac{10+a}{2})}$ //heron
$S = \frac{10+a}{2}$ // obsah ze vzorce pro vepsanou

$sqrt{(\frac{10+a}{2})(\frac{10+a}{2}-a)(5-\frac{10+a}{2})(5-\frac{10+a}{2})} = \frac{10+a}{2}$

Z toho možná půjde vyjádřit a :)

Vychází mi (po prohnání strojem kořeny -10, 0 a +10) -> záporné a nulové strany asi ne :), zkus to dosadit, zda to vyjde, nejak se mi to nezdá

byk7 · 01. 05. 2010 18:19

Díky

frank_horrigan

↑ byk7:

Ještě jeden nápad ("prasárna"): Kruznice o poloměru máš - budoucí kruznice vepsana. Sestroj si "průměr" - maximální možnou tetivu (nevzpomenu si jak se tomu říká). Na bodech společných průmeru a kružnici ved kolmice -tečny. Ty se protnou, z vrcholu veď kružnici o r = 5. To budou Ostatní dva vrcholy. Nevím, prijde mi to jako prasárna, ale možná to projde :) To počítání bych bez stroje (wolframu) nedal, ani s beznou kalkulackou :)

byk7 · 02. 05. 2010 12:11

↑ frank_horrigan: ale ty tečny se neprotnou, protože jsou to rovnoběžky

frank_horrigan

↑ byk7:

Aha, no jo... pravdu máš, to mi nedoslo... Jeste mám jeden nápad: ten průměr máš, sestroj si jeste jeden, kolmý. Na jednom konci kolmici - tečnu (budoucí strana c. Druhý konec protáni, tam "nekde" bude lezet vrchol C. Sestoj tecny, tak, aby se protnuly na té prodlouzené úsečce. Jedna dvojice tečen bude mít velikost 3... Je to jenom nápad, myslim si, ze uvazuju správným smerem, jeste domyslet "elegantneji" ten jak udelat ty tecny o velikosti 3. Dotek s vepsanou kruznicí by měl být u rovnor. na ose strany C - tedy vzdalenost AT a BT by mela byt stejná (T je dotek strany s kruznici)

Uz to mám, stacilo si namalovat obrázek. Vyuzijeme podobnost trojúhelníků. Vezmi si, ze máš pravoúhlý troúhelník o odvesnách 2r a r, vypočítej přeponu. "Velkou" přeponu máš zadanou, stačí spočítat odvěsny, a sestrojíš trojúhelník :)

frank_horrigan · 02. 05. 2010 13:41

↑ byk7:

Zkusím to shrnout, asi je v tom pěknej bordel, ted:

1) v, S, 1cm //budoucí vepsaná
2) KL, |KL| = 2cm; K,L je prvkem v, S je prvkem KL // vertikální průměr
3) XY, XY je kolmá KL, S je prvkem KL //horizontální průmer
4) p, p je rovnoběžná s XY, K je prvkem p //tečna, strana c
5) q, q je rovnoběžná s KL, X je prvkem q
6) R, R je průnik p a q
7) Prav. trojúhelník RKL

RK = r = 1
KL = 2r = 2
RL = $sqrt(r^2+2r^2) = sqrt(1+4) = sqrt(5)$

3: sqrt(5) = 1 : |AK| = 2: |KC|

Poměr podobnosti přibližně 1,34

8) AK, |AK| = 1 * 1.34 = 1.34
9) KC, |KC| = 2* 1.34 = 2.68
10) k, k(K, |KA|)
11)B, B je prunik p a k
12) troj ABC

Snad je to k pochopení :)

frank_horrigan · 02. 05. 2010 14:43

V kazdém případě mi tato uloha prijde jako zajimava, navrhuji přesunutí do sekce Zajímavé úlohy :)

Honzc · 06. 05. 2010 14:35

To frank_horrigan

Výpočet je nějaký divný.
Tak jak je úloha zadána nemá řešení (a musí být větší než 3.33019 cm)
Jinak pro základní školy docela dobrý.
Výpočet vede na algebraickou rovnici 3.řádu a konstrukce pravítko kružítko tedy nevím jak.

BakyX · 06. 05. 2010 14:50

↑ Honzc:

Tiež myslím. Pri mojich výpočtoch vyšla výška komplexné číslo. Ešte to prerátam a potom sem ten výpočet hodím.

frank_horrigan · 06. 05. 2010 14:54

↑ Honzc:

Prave proto, ze z toho vypadla kubicka rovnice, a jeji koreny -10, 0 a +10 se mi to zdalo nejaky divny, a pro zakladni (ono, co si budeme povidat) ani pro stredni je ten vypocet nepouzitelny, zkusil jsem na to jit geometricky a myslim,ze ten postup ma smysl a logiku - pres podobnost. A (zakladna) bude urcite vetsi nez 3,33 :) Nemám tady přislusné vybavení (jsem prece jen "jenom" finančník), ale z nacrtku plyne, ze ta uloha reseni ma :) A fakt je, ze pro zakladku je to na hrane, mozna tak do olympiady, sice jsem pouzil kostrukci ktere se na ZS uci (aspon myslim, heronuv vzorec jsem taky myslel ze v devaty probiraj), a jenom se u toho musi premyslet :)

Pokud ses opačného názoru, můzeš mi ukázat (početne, nebo obrázkem) co přesně na tom nejde sestrojit?

byk7 · 06. 05. 2010 16:19 — Editoval byk7 (07. 05. 2010 12:12)

Nemá to řešení:

úhel při základně: $\alpha$
základna: $2x$
poloměr kružnice vepsané: $\rho=1\mathrm{cm}$
rameno: $\mathrm{r}=3\mathrm{cm}$

musí platit:
$\tan{$\frac{\alpha}{2}$}=\frac{1}{x} \nl \cos{\alpha}=\frac{x}{3}$
$\sqrt{\frac{1-\cos{\alpha}}{1+\cos{\alpha}}}=\frac{1}{x} \nl \frac{1-\frac{x}{3}}{1+\frac{x}{3}}=\frac{1}{x^2} \nl \frac{3-x}{3+x}=\frac{1}{x^2} \nl x^3-3x^2+x+3=0 \nl x_1=1-\sqrt[3]{1-\frac{\sqrt{57}}{9}}-\frac{2\cdot\sqrt[3]{9\cdot{$9-\sqrt{57}$}^2}}{3\cdot$9-\sqrt{57}$} \nl x_{2;3}\in\mathbb{C}\rightarrow\mathrm{netreba\,\,uvazovat} \nl x<0 \Rightarrow \mathrm{nema\,\,reseni}$

Jo a ještě, jestliže $r=3\,\mathrm{cm}\Rightarrow\max{$\rho$}\approx0,7\,\mathrm{cm}$

Chrpa · 06. 05. 2010 16:42 — Editoval Chrpa (06. 05. 2010 16:49)

↑ byk7:
Souhlasím s tebou
Vyjde
$\cos\,\alpha\dot=-0,25643\,\Rightarrow\,\alpha\dot=105^\circ$ - což nelze

frank_horrigan · 06. 05. 2010 17:45

Dobrá, kluci, dobra :) Takze konketne na tyto rozmery (respektive jejich pomer) neni reseni, fajn :) Spocitat si to nedokazu (nebo mozna dokazu, ale jsem na to moc velkej lempl), takze vam budu verit :)

BakyX · 29. 07. 2010 09:05 — Editoval BakyX (30. 07. 2010 14:33)

↑ frank_horrigan:

(Prispievam do vyriešenej témy - viem to)

Mám pocit, že ten tvôj postup je aj tak zlý. Tie 2 trojuholníku totiž nie sú podobné. Dá sa to jednoducho dokázať. Pravouhlý trojuholník s odvesnami x, 2x má vždy rovnaké uhly. Rovnoramenný trojuholník rovnaké uhly vždy nemá

Matematické Fórum

#1 01. 05. 2010 18:02

Konstrukce trojúhelníku

#2 01. 05. 2010 18:14 — Editoval frank_horrigan (01. 05. 2010 18:32)

Re: Konstrukce trojúhelníku

#3 01. 05. 2010 18:19

Re: Konstrukce trojúhelníku

#4 01. 05. 2010 18:41 — Editoval frank_horrigan (01. 05. 2010 18:42)

Re: Konstrukce trojúhelníku

#5 02. 05. 2010 12:11

Re: Konstrukce trojúhelníku

#6 02. 05. 2010 12:44 — Editoval frank_horrigan (02. 05. 2010 13:18)

Re: Konstrukce trojúhelníku

#7 02. 05. 2010 13:41

Re: Konstrukce trojúhelníku

#8 02. 05. 2010 14:43

Re: Konstrukce trojúhelníku

#9 06. 05. 2010 14:35

Re: Konstrukce trojúhelníku

#10 06. 05. 2010 14:50

Re: Konstrukce trojúhelníku

#11 06. 05. 2010 14:54

Re: Konstrukce trojúhelníku

#12 06. 05. 2010 16:19 — Editoval byk7 (07. 05. 2010 12:12)

Re: Konstrukce trojúhelníku

#13 06. 05. 2010 16:42 — Editoval Chrpa (06. 05. 2010 16:49)

Re: Konstrukce trojúhelníku

#14 06. 05. 2010 17:45

Re: Konstrukce trojúhelníku

#15 29. 07. 2010 09:05 — Editoval BakyX (30. 07. 2010 14:33)

Re: Konstrukce trojúhelníku

Zápatí