Matematické Fórum

Jirda · 11. 05. 2010 15:49

Zdravím,

ve své přípravě k matuře z matiky jsem narazil na dva příklady z kapitoly určitých integrálů, u kterých si moc nevím rady, zda je můj výsledek správný.

U prvního příkladu mi vyšlo totiž 1/4ln 5 a u druhého příkladu mi vyšlo 25pi.

Díky za pomoc a za Vás čas.

Rumburak · 11. 05. 2010 16:09

Mně vyšlo: Úloha 1 : (1/4) * ln 25 = (1/2) * ln 5 , Úloha 2: (2/3) * 236 * pi .

Jirda · 11. 05. 2010 17:59

↑ Rumburak:

Pls mohl by jsi ukázat i postup u těch dvou příkladů? Abych si ho mohl porovnat a najít, kde jsem udělal chybu?

Díky.

Tychi · 11. 05. 2010 18:01

↑ Jirda:Tak nafoť svůj postup, najdeme tvou chybu.

Jirda · 11. 05. 2010 18:56

↑ Tychi:

Tychi · 11. 05. 2010 20:03 — Editoval Tychi (11. 05. 2010 20:04)

Netuším, jak to integruješ, mně vychází $\frac14\ln|4x+5|$ .

ve druhém příkladě integrál 25 není 25, ale 25x.

Rumburak

První úloha:
Není mi jasné, jak se u primitivní funkce v argumentu logaritmu $x \,+\, \frac {1}{5}$ vzala ta 1/5, nehledě na to, že následuje spousta
dalších chyb . Možná jsi chtěl postupovat takto:

$\int_{-1}^{5} \frac {1}{4x\,+\,5} \,\text{d} x \,=\,\int_{-1}^{5} \frac{1}{4}\,\cdot\,\frac {1}{x\,+\,\frac{5}{4}} \,\text{d} x \,=\,\frac{1}{4}\,\cdot\,\[\ln \,$x\,+\,\frac{5}{4}$\]_{-1}^5 \,=\,\frac{1}{4}\,\cdot\,\[\ln \,$5\,+\,\frac{5}{4}$\,-\,\ln \,$-1\,+\,\frac{5}{4}$\] \,=\nl=\,\frac{1}{4}\,\cdot\,\[\ln \,\frac{25}{4}\,-\,\ln \,\frac{1}{4}\] \,=\,\frac{1}{4}\,\cdot\,$\ln \,25\,-\,\ln\,4 \,+\,\ln \,4$ \,=\,\frac{1}{4}\,\cdot\,\ln \,5^2 \,=\,\frac{1}{2}\,\ln\,5\,=\,\ln\,\sqrt{5}$ .

Poznámka: obě meze integrálu leží vpravo od bodu -5/4 , který je nulovým bodem jmenovatele integrovaného zlomku,
proto uvnitř logaritmu v PF není třeba uvádět absolutní hodnotu.
Kdyby obě meze ležely nalevo od -5/4 , pak bychom v argumentu logaritmu abs. h. použili .
Kdyby bod -5/4 na ose x odděloval ony meze (jedna by ležela vpravo, druhá vlevo od něho), integrál by neexistoval.

Druhá úloha: primitivní funkce k $25 \,-\,x^2$ je $25x \,-\,\frac{1}{3}x^3$ .