Matematické Fórum

Krezz · 14. 05. 2010 18:44

Cus, dneska sem se ucil na maturitu filosofii a dostal sem se k tzn. aporiim coz jsou nejake logicke hadanky ci jak bych toi nazval. Docetl jsem se o aporii Achilles a zelva a bylo zde psano ze v 19. stol byl vymyslen differencialni pocet a tim byla dokazana nesmyslnost teto aporie. Me by ale zajimalo jak :)

Mathe · 14. 05. 2010 21:53

Achilles a želva to je o tom, jak Achilles nikdy nemůže dohnat želvu. Na Sš jsme to dokazovali nějak pomocí řad. Fígl je v tom, že achilles vždycky dojde jenom tam, kde želva začala, čili ji nemůže nikdy dohnat.

Krezz · 14. 05. 2010 21:57

↑ Mathe:me jde pouze o ten matematicky dukaz, vim co tim zenon myslel, ale nevim jakou to melo souvislost s differencialnim poctem. V dokumentu ktery sem cetl bylo napsano ze tato aporie byla spochybnena az s objevenim differencialniho poctu a proto by me zajimalo jak. Pokud nekdo vi presne matematicky postup jak to dokozavali tak ho sem napiste nebo poslete odkaz, diky.

Mr.Pinker · 14. 05. 2010 23:07

zenon to vysvětlil nejméně třemi způsoby ale jako matematicky dokázatelny bych si asi vybral ten o půlení trati jelikož nikdy nedojdeš k tomu že by to byla nula a zapsal bych to asi tak to 1/2^n je větší než nula a n je z možiny přirozených čísel

Krezz · 15. 05. 2010 10:22

↑ Mr.Pinker:Co by byl potom ale vysledek? To bys dokazoval matematickou indukci nebo co stim? Zaroven nerozumim jakou by to potom melo souvislost s diferencialnim poctem. Tohle je docela zapeklite, k mature to samozhrejme nepotrebuju ale zajimalo by me to :)

Mr.Pinker · 15. 05. 2010 10:45

řekl bych že druhou derivací se přesvědčíš že tahle funkce(posloupnost) nemá v nule minimum jelikož tam už neexistuje ale nevim to jistě já bych to dokazoval asi jinak

Jenda358

Myslím, že je to takto:
Achilles závodí s želvou v běhu na 100 m a je 10krát rychlejší. Želva má zase 10 m náskok.
Achilles uběhne 10 m, želva 1 m. Achilles uběhne 1 m a želva 0,1 m. Achilles 0,1 m a želva 0,01 m. Želva má stále náskok. V jaké vzdálenosti ji tedy Achilles dohoní? To se zjistí součtem jednotlivých úseků, které Achilles uběhl, tedy: 10m + 1 m + 0,1 m + 0,01 m + . . .
To je geometrická řada. Součet členů této řady je 100/9 = 11,111111... m.
Jde tu tedy o to, že nekonečná řada může mít konečný součet.

Pavel · 15. 05. 2010 11:12 — Editoval Pavel (15. 05. 2010 11:13)

↑ Jenda358:

Je možné to vysvětlit také pomocí doby, za kterou Achilles dohoní želvu.

Nechť se Achilles pohybuje rychlostí 10 m/s a želva 1 m/s a nechť má želva náskok 10m. Achilles uběhne 10 m za 1 sekundu, želva se za tu dobu posune o 1 metr. Ten Achilles uběhne za dalších 0,1 s a za ten čas se želva posune o 10 cm. Tuto vzdálenost dále Achilles uběhne za 0,01 s a želva se za ten čas posune o 1 cm atd. Tzn. aby Achilles dohonil želvu, musí běžet

1 + 0,1 + 0,01 + ... sekundy

To je nekonečná geometrická řada s kvocientem 0,1. Před objevem infinitezimálního počtu nebyl vybudován aparát, jak sčítat nekonečně mnoho kladných čísel. A právě tato aporie je založena na předpokladu, že součet nekonečně mnoha kladných čísel je roven nekonečnu - tzn. Achilles dohoní želvu za nekonečně dlohou dobu. Až s objevem infinitezimálního počtu bylo možno určit součet výše uvedené řady - 10/9 s, tzn. Achilles dohoní želvu v konečném čase.

FailED · 15. 05. 2010 11:34

Čas určitě uměli spočítat třeba porovnáním drah:

$10vt=vt+10$

Infinitesimální počet není potřeba.

zdenek1 · 15. 05. 2010 11:43

↑ Krezz:
Já to znán té verzi, kterou uvádí ↑ Mathe:.
Nesmyslnost nebyla dokázána s objevem dif. počtu. Nesmyslnost byla zjevná už starým Řekům. Oni si ve skutečnosti nemysleli, že by Achiles želvu nedohonil. Oni jen nevěděli, v čem je jejich argumentace chybná.
A chybná byla v to, že si nedokázali představit, že by součet nekonečně mnoha čísel mohl být konečné číslo. A to právě precizoval dif. počet. Zavedl a definoval pojem limity, a pak už to byla hračka.

Takže želva má počáteční náskok $x_0$ , Achiles rychlost $v$ , želva rychlost $u$ , $v>u$ a pohybují se po jedné přímce, Achiles honí želvu.
Než se Achiles dostane do bodu $x_0$ , potřebuje čas $t_1=\frac{x_0}v$ . ZA tu dobu želva urazí dráhu $x_1=ut_1=\frac uvx_0$
Nyní A. musí urazit dráhu $x_$ za čas $t_2=\frac{x_1}v=\frac u{v^2}x_0$ . A želva $x_2=ut_2=\left(\frac uv\right)^2x_0$
A. $t_3=\frac{x_2}v=\frac{u^2}{v^3}x_0$ atd.
Vidíme, že časy tvoří geometrickou posloupnost (ta také byla známa před objevem dif. počtu) a potřebujeme ji sečíst.
Pro G.P. je $S_n=a_1\frac{q^n-1}{q-1}$ . A tady vstupuje do hry dif. počet, protože potřebuješ vypočítat $\lim_{n\rightarrow\infty}S_n$ . Pokud toto matematika zvládá, má takový pojem definovaný a umí s ním zacházet, má vyhráno. To je ale ten problém, protože starořecká matematika (jako celek - někteří jednotlivci se dostali hodně blízko) toto neuměla.
Víme, že $S_\infty=\frac{a_1}{q-1}$ , $|q|<1$
Takže "součet" všech časů je $t=\frac{\frac{x_0}v}{1-\frac uv}=\frac{x_0}{v-u}$ a v tomto čase Achiles dohoní želvu.

A světe div se, je to doba, kterou by měl spočítat žák 9. třídy ZŠ, ze zákonů rovnoměrného pohybu. (Achiles se k želvě přibližuje relativní rychlostí $v-u$ . Za jakou dobu stáhne náskok $x_0$ ?)