Matematické Fórum

Saturday

Zadání: Zjistěte, zda vektorové prostory V a W jsou izomorfní, kde:

V je vektorový prostor V=R nad tělesem R s obvyklými operacemi + a .

W je vektorový prostor $W=R^{+}$ nad tělesem R, s operacemi: u (+) v = u.v; $\alpha (.) u = u^{\alpha}$ , $\alpha \in R$

Moje řešení:

1) je třeba najít linární zobrazení f:W->V nebo f:V->W

Zobrazení, o kterém vím je: f:W->V, a to pomocí logaritmu

$\forall u, v \in W: f(u(+)v) = f(u) + f(v)$ - obecně
$\forall u \in W, \forall \alpha \in T: f(\alpha(.)u) = \alpha . f(u)$ - obecně

tedy první vlastnost lin. zobrazení:

$\forall u, v \in W: log(u(+)v) = log(u) + log(v)$
$\forall u, v \in W: log(u.v) = log(u) + log(v)$ - což platí (v matematické analýze je to axiom, kterým se logaritmus zavádí)

druhá vlastnost lin. z. :

$\forall u \in W, \forall \alpha \in R: log(\alpha(.)u) = \alpha . log(u)$
$\forall u \in W, \forall \alpha \in R: log(u^{\alpha}) = \alpha . log(u)$
$\forall u \in W, \forall \alpha \in R: \alpha . log(u) = \alpha . log(u)$ - využije se další vlastnosti logaritmu, tedy platí

2) Je třeba ověřit, že zobrazení f je prosté:

Musíme ukázat, že: $\forall x_1, x_2 \in W, x_1 \neq x_2 => log(x_1) \neq; log(x_2)$ , toto tvrzení je pravdivé proto, že logaritmus je ryze monotonní funkce

3) Je třeba ověřit, že zobrazení f je na:

Zde by mělo stačit říci, že logaritmus je spojitá ryze monotonní funkce, která má definiční obor D =(0, +oo) a H = R, tedy $\forall y \in V, y=log(x) \exists x \in W$

Tedy existuje zobrazení, které je izomorfismem VP V a W.

Mohl by mi někdo zkontrolovat mé řešení? Myšlenky tam moc není, ale rád bych to měl i formálně správně. Díky za pomoc

Tomsus · 03. 03. 2008 20:51

Já osobně si myslím (ačkoliv jsem se zobrazením "logaritmus" nesetkal), že by to mohlo fungovat.

Pár připomínek: log(u*v)=log(u) + log(v) není axiom - lze to dokázat z definice
v bode 3 by mela logicka veta vypadat: (Vy€V)(existuje x€W)(y=log(x))
a formalita: logaritmus je spojita funkce NA INTERVALU (0,+oo)

Snad mam pravdu a neudelal jsem ze sebe debila :-)

Tomsus · 03. 03. 2008 20:57

Myslim, ze by to slo jednoduse takto.

Mnoziny R a R+ maji stejnou mohutnost - mohutnost nespocetne mnoziny - tj. existuje mezi nimi bijektivni zobrazeni...

a je to :-)

Saturday · 03. 03. 2008 22:31

log(u*v)=log(u) + log(v) není axiom - lze to dokázat z definice

Já myslím, že tohle může být předmětem sporu, je možné zavést axiomaticky exponencialní funkci a pak odvozovat vlastnosti pro logaritmus nebo zavést axiomaticky logaritmus. Alespoň my jsme měli zaveden algoritmus axiomaticky a právě tak, jak jsem řekl. Je to tedy možná o tom, jak si kdo logaritmus zavede, a nebo o tom, že existuje nějaká kratší definice, než jsme měli my :-)

Jinak děkuji za připomínky

Ten tvůj návrh řešení bych si mohl dovolit, kdybych LA opravdu rozumnel, je to cviceni, takze tenhle zpusob reseni me ochuzuje o konkretni reseni ;-)

Tomsus · 03. 03. 2008 22:40

Hmm, hmmm, http://skolniftp.sh.cvut.cz/ftp/fakulty … ocnina.pdf treba tady je ten dukaz. O axiomatickem zavadeni logaritmu a odvozeni exponencialni fce jsem jeste neslysel - osobne bych si to ani neumel predstavit :-)

Saturday · 03. 03. 2008 22:48

http://kam.mff.cuni.cz/~pultr/ma.pdf - já čerpám odsud, logaritmus je na str 23 (strankovani PDF), str. 19 strankovani dokumentu

Saturday · 03. 03. 2008 23:23

Jeste jsem koukl znova na toto:

a formalita: logaritmus je spojita funkce NA INTERVALU (0,+oo)

toto mám řečené tím definičním oborem, i když asi by to mělo být formulované opravdu trochu jinak

Tomsus · 04. 03. 2008 18:34

↑ Saturday:

Já se domnívám (a taky nás to tak učili), že máme pojmy "spojitost v bodě" a "spojitost na intervalu" - tam musíme udat onen interval (treba Df). Ale myslim, ze je mozne, ze nekdo zavedl dohodou "spojita funkce" - jako "funkce spojita na celem definicnim oboru"

Matematické Fórum

#1 03. 03. 2008 20:18 — Editoval Saturday (03. 03. 2008 20:19)

Izomorfismus prostorů V a W

#2 03. 03. 2008 20:51

Re: Izomorfismus prostorů V a W

#3 03. 03. 2008 20:57

Re: Izomorfismus prostorů V a W

#4 03. 03. 2008 22:31

Re: Izomorfismus prostorů V a W

#5 03. 03. 2008 22:40

Re: Izomorfismus prostorů V a W

#6 03. 03. 2008 22:48

Re: Izomorfismus prostorů V a W

#7 03. 03. 2008 23:23

Re: Izomorfismus prostorů V a W

#8 04. 03. 2008 18:34

Re: Izomorfismus prostorů V a W

Zápatí