Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
Stránky: 1
Zdravím,
nazvěme jednopatrový řetězový zlomek (možná se tomu říká jinak):
,
dvoupatrový:
třípatrový:
, atd.
když jsem počítal jejich hodnoty, tak to vychází:
všiml jsem si že čitatel P(1) (označme: c[P(1)]) je jmenovatelem P(2) (označme: j[P(2)]),
to mě vedlo k domněnce:
dále mě napadlo, že:
,
kde značí n-té Fiboncciho číslo.
Dokažte, nebo vyvraťte!
P.S.: Znamená to tedy, že existuje nějaká spojitost mezi Fibonacciho posloupností a speciálním případem řetězových zlomků??
Offline
↑ byk7:
Je to tak, jak uvádíš. Když si dosadíš za m=1, dostaneš v čitateli a jmenovateli právě členy Fibonacciho posloupnosti. Pokud budeme uvažovat řetězový zlomek s nekonečně mnoha úrovněmi, v nichž jsou pouze jedničky, pak jeho hodnota je rovna tzv. zlatému řezu:
http://cs.wikipedia.org/wiki/Zlat%C3%BD_%C5%99ez
A právě zlatý řez vystupuje při explicitním vyjádření členů Fibonacciho posloupnosti.
http://cs.wikipedia.org/wiki/Fibonacciho_posloupnost
Offline
↑ Pavel:
díky za informaci, vzhledem k Fibonacciho posloupnosti mě napadla ještě jedna úloha:
"Určete všechna , pro která platí ."
Offline
Offline
↑ Pavel:
Ještě mě napadalo, závisí hodnota zlomku na ?
Pro je situace jasná:
,
což dokázal tuším Kepler (?), (nevíte, kde si můžu ten důkaz pročíst?).
Ale nevím jak vyjádřit hodnotu pro .
Offline
↑ byk7:
Tady bych Tě opravil, podíl dvou po sobě jdoucích Fibonacciho čísel není roven zlatému řezu, ale limitně se k němu blíží. Tzn.
Ať mohu postupovat dál, lehce bych pozměnil Tvé značení. Nechť a
atd. Tzn. udává počet zlomkových čar v řetězovém zlomku .
Dosud jsme ukázali, že .
Otázka je, jaká je limita .
Užitím matematické indukce lze snadno ukázat, že
Užitím věty o třech limitách dostáváme nerovnosti
tzn.
Tudíž limita je stejná jako v případě .
Offline
Stránky: 1