Matematické Fórum

byk7 · 17. 06. 2010 12:20

Zdravím,

nazvěme jednopatrový řetězový zlomek (možná se tomu říká jinak):
$\rm{P}(1):=1+\frac{1}{m}$ ,

dvoupatrový:
$\rm{P}(2):=1+\frac{1}{1+\frac{1}{m}}$

třípatrový:
$\rm{P}(3):=1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{m}}}$ , atd.

když jsem počítal jejich hodnoty, tak to vychází:
$\rm{P}(1)=\frac{m+1}{m} \nl \rm{P}(2)=\frac{2m+1}{m+1} \nl \rm{P}(3)=\frac{3m+2}{2m+1} \nl \rm{P}(4)=\frac{5m+3}{3m+2}$

všiml jsem si že čitatel P(1) (označme: c[P(1)]) je jmenovatelem P(2) (označme: j[P(2)]),
to mě vedlo k domněnce:
$\rm{P}(n)=\frac{c\[\rm{P}(n)]}{c\[\rm{P}(n-1)\]}$

dále mě napadlo, že:
$\rm{P}(n):=\frac{\rm{F}(n)\cdot m+\rm{F}(n-1)}{\rm{F}(n-1)\cdot m+\rm{F}(n-2)}$ ,
kde $\rm{F}(n)$ značí n-té Fiboncciho číslo.

Dokažte, nebo vyvraťte!

P.S.: Znamená to tedy, že existuje nějaká spojitost mezi Fibonacciho posloupností a speciálním případem řetězových zlomků??

Pavel · 17. 06. 2010 14:47

↑ byk7:

Je to tak, jak uvádíš. Když si dosadíš za m=1, dostaneš v čitateli a jmenovateli právě členy Fibonacciho posloupnosti. Pokud budeme uvažovat řetězový zlomek s nekonečně mnoha úrovněmi, v nichž jsou pouze jedničky, pak jeho hodnota je rovna tzv. zlatému řezu:

http://cs.wikipedia.org/wiki/Zlat%C3%BD_%C5%99ez

A právě zlatý řez vystupuje při explicitním vyjádření členů Fibonacciho posloupnosti.

http://cs.wikipedia.org/wiki/Fibonacciho_posloupnost

byk7 · 17. 06. 2010 17:42

↑ Pavel:

díky za informaci, vzhledem k Fibonacciho posloupnosti mě napadla ještě jedna úloha:

"Určete všechna $n$ , pro která platí $\rm{F}(n)=n$ ."

Moje úvaha s možným řešením Zobrazit/skrýt!

check_drummer · 17. 06. 2010 21:06

↑ byk7:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

byk7 · 21. 06. 2010 16:46 — Editoval byk7 (02. 07. 2010 08:35)

↑ Pavel:

Ještě mě napadalo, závisí hodnota zlomku na $m$ ?
Pro $m=1$ je situace jasná:
$\rm{P}(n)=\frac{\rm{F}(n)+\rm{F}(n-1)}{\rm{F}(n-1)+\rm{F}(n-2)}=\frac{\rm{F}(n+1)}{\rm{F}(n)}\rightarrow\varphi$ ,
což dokázal tuším Kepler (?), (nevíte, kde si můžu ten důkaz pročíst?).

Ale nevím jak vyjádřit hodnotu $\rm{P}(n)$ pro $m\neq1$ .

Pavel · 01. 07. 2010 13:20 — Editoval Pavel (01. 07. 2010 13:21)

↑ byk7:

Tady bych Tě opravil, podíl dvou po sobě jdoucích Fibonacciho čísel není roven zlatému řezu, ale limitně se k němu blíží. Tzn.

$\rm{P}(n)=\frac{\rm{F}(n)+\rm{F}(n-1)}{\rm{F}(n-1)+\rm{F}(n-2)}=\frac{\rm{F}(n+1)}{\rm{F}(n)}\rightarrow\varphi$

Ať mohu postupovat dál, lehce bych pozměnil Tvé značení. Nechť $m\in\mathbb N$ a

$\Large P_m(1):=1+\frac 1m$

$\Large P_m(2):=1+\frac 1{1+\frac 1m}$

$\Large P_m(3):=1+\frac 1{1+\frac 1{1+\frac 1m}}$

atd. Tzn. $n$ udává počet zlomkových čar v řetězovém zlomku $P_m(n)$ .

Dosud jsme ukázali, že $\lim_{n\to\infty}P_1(n)=\varphi$ .

Otázka je, jaká je limita $\lim_{n\to\infty}P_m(n)$ .

Užitím matematické indukce lze snadno ukázat, že

$P_1(2n-1)<P_m(2n)<P_1(2n)\nl P_1(2n)<P_m(2n+1)<P_1(2n+1),\qquad n,m\in\mathbb{N}.$

Užitím věty o třech limitách dostáváme nerovnosti

$\lim_{n\to\infty}P_1(2n-1)\leq\lim_{n\to\infty}P_m(2n)\leq\lim_{n\to\infty}P_1(2n)\nl \lim_{n\to\infty}P_1(2n)\leq \lim_{n\to\infty}P_m(2n+1)\leq \lim_{n\to\infty}P_1(2n+1),$

tzn.

$\varphi\leq\lim_{n\to\infty}P_m(2n)\leq\varphi\qquad\Rightarrow\qquad\lim_{n\to\infty}P_m(2n)=\varphi\nl \varphi\leq \lim_{n\to\infty}P_m(2n+1)\leq\varphi\qquad\Rightarrow\qquad\lim_{n\to\infty}P_m(2n+1)=\varphi.$

Tudíž limita je stejná jako v případě $p=1$ .

$\Large \qquad\lim_{n\to\infty}P_m(n)=\varphi.$