Matematické Fórum

Keo · 30. 09. 2010 22:29 — Editoval Keo (30. 09. 2010 22:33)

Ahoj, potreboval bych poradit s vypoctem 487 mocniny komplexniho cisla. Umim to s tema normalnima, ale s timto hnusem nemuzu hnout:
$\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}+ \frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}i$
Nebo teda spis netusim jak prijit na sinus nebo cosinus z takoveho cisla.. nejaky napad? diky:)

BakyX · 30. 09. 2010 22:41 — Editoval BakyX (30. 09. 2010 22:43)

Zadáš do kalkulačky:

arcsin(sqrt(2+sqrt(2))/2)

http://www.wolframalpha.com/input/?i=+a … %29%2F2%29

Ako to spočítať mechanicky, netuším.

Keo · 30. 09. 2010 22:43 — Editoval Keo (30. 09. 2010 22:45)

jj 3pi/8 a snad i pi/8 .. ale pouzivani kalkulacek nejspis neni dovolena.... :(

jelena · 30. 09. 2010 22:51

↑ Keo:

Zdravím,

snad pomůže takový rozpis:

$$\(\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}+ \frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}i$^2\)^{243}\cdot $\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}+ \frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}i$$

nebo něco v podobném smyslu, takové "odmocniny" v podobných úpravách vypadají nadějně.

Pomohlo?

Olin · 30. 09. 2010 23:12 — Editoval Olin (01. 10. 2010 09:36)

Je docela škoda, že výrazy $\sqrt{2+\sqrt{2}}$ a $\sqrt{2-\sqrt{2}}$ nejsou "hezky upravitelné". Pokud by někdo chtěl postupovat přímou aplikací Moivreovy věty, je nutné nejprve spočítat fázi (úhel) zadaného čísla, tj.

$\rm{arctg}\sqrt{\frac{2+\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}}$ .

A je třeba to upravit do podoby vzorce

$\rm{arctg} x = 2 \rm{arctg} \frac{x}{1+\sqrt{1+x^2}}$ .

Keo · 30. 09. 2010 23:19 — Editoval Keo (30. 09. 2010 23:22)

↑ jelena: nepomohlo:(
↑ Olin: moivreova veta neni nutna.. jen sem myslel ze se to pomoci toho resi.. a ze je potreba spocitat arctg/sin/cos bouzel taky vim:-/ ale houby platne..

no asi to nechame.. reseni nebude nejake "rozumne" i tak dik:)

Olin · 30. 09. 2010 23:23

↑ Keo:
Návrh od kolegyně Jeleny (zdravím) je velmi použitelný, prostě si zkus nahrubo (tj. dle vzorce $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ ) roznásobit

$$\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}+ \frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}\mathrm{i}$^2$

a uvidíš co ti vyjde. Pak možná bude ještě zajímavým poznatkem čtvrtá mocnina (která se pak nejsnáze vypočte tak, že se výše uvedená roznásobená druhá mocnina opět umocní.)

Keo · 30. 09. 2010 23:45 — Editoval Keo (01. 10. 2010 00:02)

uf .. uz mi doslo co jelena myslela :) diky zkusim
jinak vysledkem je: $$-\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}+ \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\mathrm{i}$$

jelena · 01. 10. 2010 08:46

↑ Keo:

děkuji, neuvědomila jsem, že jsi "myšlenkově byl nastaven" na goniometrický tvar a já jsem bez komentáře přepla na algebraický, omluva. Děkuji kolegovi ↑ Olinovi: za vyjasnění (a za pozdrav :-), také zdravím.

Matematické Fórum

#1 30. 09. 2010 22:29 — Editoval Keo (30. 09. 2010 22:33)

Moivreova veta

#2 30. 09. 2010 22:41 — Editoval BakyX (30. 09. 2010 22:43)

Re: Moivreova veta

#3 30. 09. 2010 22:43 — Editoval Keo (30. 09. 2010 22:45)

Re: Moivreova veta

#4 30. 09. 2010 22:51

Re: Moivreova veta

#5 30. 09. 2010 23:12 — Editoval Olin (01. 10. 2010 09:36)

Re: Moivreova veta

#6 30. 09. 2010 23:19 — Editoval Keo (30. 09. 2010 23:22)

Re: Moivreova veta

#7 30. 09. 2010 23:23

Re: Moivreova veta

#8 30. 09. 2010 23:45 — Editoval Keo (01. 10. 2010 00:02)

Re: Moivreova veta

#9 01. 10. 2010 08:46

Re: Moivreova veta

Zápatí