Matematické Fórum

zluta ponorka · 29. 10. 2010 23:52

ahoj narazil jsem na problémový příklad. $\frac{2x + 3}{x^2 + 1}.sgn(sinx)$ limita pro + nekonecno. podle vysledku to ma byt nula. podle mojí úvahy se to k nule v nekonečnu blíží, ale kvůli sgnsinx to kolísá kolem +0 a -0. Nejsem si jistý jestli +0 a -0 je totéž.

Oxyd · 30. 10. 2010 00:07

+0 a -0 skutečně je totéž, ano.

Občas se nápisy "+0" a "-0" používají ve významu "blíží se k nule zprava" a "blíží se k nule zleva". Každopádně, tady je jedno, odkud se to blíží k nule -- blíží se to k nule, a to je to podstatné.

zluta ponorka · 30. 10. 2010 00:14

↑ Oxyd:
díky za odpověď. mohl bych se zeptat na přibližný graf funkce? napadá mě cosi jako utlumující se sinusoida ale ne podle funkce sinus ale podle 1/x v závislosti na intervalu, do nějž patří x (0-pi/2; pi/2-pi atd..)

jelena · 30. 10. 2010 00:28 — Editoval jelena (30. 10. 2010 00:30)

↑ zluta ponorka:

Zdravím,

graf se vytvoří z funkce $f(x)=\frac{2x + 3}{x^2 + 1}$ - viz Obrázek tak, že na příslušných intervalech, kde je sin kladné nebo záporné bude funkční hodnota násobena (1) nebo (-1), v bodech, kde je sin(x)=0, bude násobení 0, tedy i funkční hodnota bude nulova. Plyne z vlastností funkce signum

Nic moc hezkého to nebude.

pavelbr · 26. 10. 2014 10:21

Mohu se zeptat, jak v tomto případě postupuji? Musím si nejprve nakreslit graf a pak z něj dané údaje vyčíst nebo jak? A jak si zjistím graf z tohohle předpisu?

jelena · 26. 10. 2014 11:08

↑ pavelbr:

Zdravím,

v tématu (postupně) jsou 2 otázky: první je vyšetření limity $\lim_{x\to \infty}\frac{2x + 3}{x^2 + 1}\cdot \mathrm{sgn}(\sin x)$ , k čemu se funkce představila jako součin limit $\lim_{x\to \infty}\frac{2x + 3}{x^2 + 1}\cdot \lim_{x\to \infty}\mathrm{sgn}(\sin x)$ . Limita funkce sgn(sin(x)) neexistuje - viz předchozí zdůvodnění, ale funkce nabývá jen omezeného počtu hodnot, viz předchozí povídání. Ovšem limitu $\lim_{x\to \infty}\frac{2x + 3}{x^2 + 1}$ vyšetřit jde a v důsledku toho, že je nulová, se udělá závěr pro limitu celé zadané funkce (může být námitka, že pro součin limit musí existovat limita každé funkce v součinu, zde se to "obejde", že násobíme 0 některou z konečných hodnot, nebo jak píšou na MathTutoru "pokud to má smysl").

Druhá otázka je na techniku kreslení grafu - to ale s vyšetřením limity nesouvisí (spíš pro představu, nebo pro techniku kreslení). Stačí tak na doplnění? Děkuji.

Stýv · 26. 10. 2014 13:01

↑ jelena: na tohle existuje věta, která v zásadě říká "0*omezená=0"

jelena · 26. 10. 2014 13:15

↑ Stýv:

děkuji, kolego Stýve, (něco podobného se sice chystám použit tady, ale tam mám "čistý součin limit"). Tvůj přepis by tedy byl ne součin limit, ale vytknutí $\mathrm{sgn}(\sin x)\lim_{x\to \infty}\frac{2x + 3}{x^2 + 1}$ - tak? Nebo jak správně zapisovat?

Stýv · 26. 10. 2014 14:46

↑ jelena: vytknout to před limitu nemůžeš. prostě řekneš, že $\lim_{x\to \infty}\frac{2x + 3}{x^2 + 1}=0$ a $\operatorname{sgn}(\sin x)$ je omezená, tedy $\lim_{x\to \infty}\frac{2x + 3}{x^2 + 1}\cdot \mathrm{sgn}(\sin x)=0$

pavelbr · 26. 10. 2014 16:44

Moc děkuju za výborné vysvětlení, již chápu

jelena · 27. 10. 2014 22:39

↑ Stýv:

děkuji, kolego Stýve, tak já to "prostě řeknu" (vytknutím jsem si myslela, že funkci signum přepíší na 3 hodnoty, čímž mi vzniknou 3 funkce na vyšetření limity (což je nepoužitelný nesmysl v nekonečnu - použitelné by to bylo, pokud bych měla vyšetřit limitu v některém x a potřebovala vyšetřovat zleva a zprava). Zde již předpokládám, že všechno jasné.

Ale např. v případě $\lim_{x\to \infty}\frac{2x + 3}{x^2 + 1}\cdot \mathrm{sgn}(\tan x)$ to už "prostě neřeknu", jelikož nestačí, aby byla omezená, musí být ještě spojitá.

↑ pavelbr: také děkuji - především kolegovi Stývovi, že se zapojil.

Matematické Fórum

#1 29. 10. 2010 23:52

limita sgn(sinx)

#2 30. 10. 2010 00:07

Re: limita sgn(sinx)

#3 30. 10. 2010 00:14

Re: limita sgn(sinx)

#4 30. 10. 2010 00:28 — Editoval jelena (30. 10. 2010 00:30)

Re: limita sgn(sinx)

#5 26. 10. 2014 10:21

Re: limita sgn(sinx)

#6 26. 10. 2014 11:08

Re: limita sgn(sinx)

#7 26. 10. 2014 13:01

Re: limita sgn(sinx)

#8 26. 10. 2014 13:15

Re: limita sgn(sinx)

#9 26. 10. 2014 14:46

Re: limita sgn(sinx)

#10 26. 10. 2014 16:44

Re: limita sgn(sinx)

#11 27. 10. 2014 22:39

Re: limita sgn(sinx)

Zápatí