Matematické Fórum

Keo · 02. 11. 2010 22:27 — Editoval Keo (02. 11. 2010 23:12)

Ahoj, potreboval bych poradit s timhle prikladem:
s pouzitim vhodneho odhadu prislusneho vyrazu dokazte pomoci def. limity:
$\lim_{x\rightarrow \infty}x^2/x!=0$

Co jsem koukal sem a sem jak se takove ulohy resi.. tak se upravi tenhle vyraz
$|x^2/x!-0|< \epsilon$

jenze uz s tim mam problem.. jak bych mel todle upravit ?:)

lukaszh · 02. 11. 2010 22:46

↑ Keo:

Veci okolo definície vyrieš, dám ti len ten odhad

$\forall n\ge3\,:\;\Large\frac{n^2}{n!}\,<\,\frac{n\cdot(n+1)}{n!}=\frac{n+1}{(n-1)!}\,<\,\frac{n+1}{(n-1)\cdot(n-2)}$

Keo · 02. 11. 2010 23:42 — Editoval Keo (02. 11. 2010 23:43)

No sem asi hodne natvrdly ale:
$( \forall \varepsilon > 0 )( \exists n_0 \in N : n > n_0)(|a_n - a| < \varepsilon)$

No.. a mam za ukol najit $n_0$ takove, aby pro vsechna $n>n_0$ platila nerovnost $|a_n - a| < \varepsilon$ pro kazde epsilon kladne... Mno a jak mam takove $n_0$ v tomto pripade najit ?
nebo.. muzu za $n_0$ vzit $\frac{\varepsilon+1}{(\varepsilon-1)\cdot(\varepsilon-2)}$ ? (jak to udelali zde priklad 2.6)

lukaszh · 03. 11. 2010 01:13

↑ Keo:

Problém je v tom, že si si vzal príliš náročný príklad. Keďže nevieš dokazovať z definície, ukážem ti niečo ľahšie a potom vyriešim tento zložitejší.

Dokážem z definície, že

$\lim_{n\to\infty}\frac{n-1}{n+1}=1$

Ako píšeš, treba nájsť to $n_0\in\mathbb{N}$ . Možno intuitívne vytušiť, že toto číslo bude závisieť od presnosti $\varepsilon$ . Rozpíšem si to z definície, teda

$\left|\frac{n-1}{n+1}-1\right|=\left|\frac{2}{n+1}\right|$

Požadujem, aby pre ľubovoľnú voľbu $\varepsilon$ platilo

$\left|\frac{2}{n+1}\right|\,<\,\varepsilon$

no a to si vieme elementárnymi úpravami prepísať

$n\,>\,\frac{2}{\varepsilon}-1$

Lenže číslo na pravej strane nerovnosti nemusí byť prirodzené pre nejakú voľbu $\varepsilon$ , preto si vezmeme najbližšie prirodzené číslo ako $n_0$

$n_0=\lceil\frac{2}{\varepsilon}-1\rceil$

Z uvedenej nerovnosti vyplýva, že bude splnená pre všetky n väčšie ako $n_0$ . Napríklad presnosť e=0.01 bude splnená pre n väčšie ako

$n_0=\frac{2}{0.01}-1=199$

A skutočne, pretože
$\frac{199-1}{199+1}=0.99\nl\frac{200-1}{200+1}=0,9900497512437810945273631840796\nl\vdots$

Rovnakým spôsobom môžeme ukázať, že limita nie je 2 Zobrazit/skrýt!

NASPAT K ZADANIU

Mal by si si rozmyslieť, že ak nájdem to $n_0$ pre ten odhad, tak bude platiť aj pre pôvodnú postupnosť. Odhad si ešte o niečo vylepším, aby sa s ním dobre pracovalo

$\frac{n+1}{(n-1)\cdot(n-2)}\,<\,\frac{n+n}{(n-1)\cdot(n-2)}\,<\,\frac{2n}{(n-2)^2}$

Požadujeme

$\frac{2n}{(n-2)^2}\,<\,\varepsilon$

Úpravami zo strednej školy dospejeme k nerovnici

$\varepsilon n^2-(4\varepsilon+2)n+4\varepsilon\,>\,0$

Keďže $\varepsilon$ je kladné, tak ide o konvexnú parabolu, čiže riešením dostaneme

$n\,>\,\frac{4\varepsilon+2+\sqrt{(4\varepsilon+2)^2-16\varepsilon^2}}{2\varepsilon}=2+\frac{1}{\varepsilon}\left(1+\sqrt{4\varepsilon+1}\right)$

a ako $n_0$ zvolíme

$n_0=\lceil 2+\frac{1}{\varepsilon}\left(1+\sqrt{4\varepsilon+1}\right)\rceil$

Matematické Fórum

#1 02. 11. 2010 22:27 — Editoval Keo (02. 11. 2010 23:12)

Podle definice limity posloupnosti dokažte

#2 02. 11. 2010 22:46

Re: Podle definice limity posloupnosti dokažte

#3 02. 11. 2010 23:42 — Editoval Keo (02. 11. 2010 23:43)

Re: Podle definice limity posloupnosti dokažte

#4 03. 11. 2010 01:13

Re: Podle definice limity posloupnosti dokažte

Zápatí