Matematické Fórum

blanvan · 07. 11. 2010 19:22

Dobrý večer podruhé :)

Mám vypočítat 2 příklady spojitosti fuknce, ale nemůžu tomu vůbec přijít na kloub. O spojitosti jsem toho tolik přečetla, ale vůbec to nemůžu pochopit.

Zadání je:
Rozhodněte, zda funkce a), b) lze dodefinovat tak, aby byly spojité pro x leží R. Načrtněte dodefinovanou spojitou funkci anebo odůvodněte, proč dodefinování ke spojitosti není možné.

a)
f(x) = (/x/) /x +1

b)
g(x) = (x-1)/(x-1)

U této fuknce bych řekla, že spojitá pro všechna R není, protože abych jí načrtla, potřebovala bych z ní vypočítat střed funkce a to není možné.

Děkuji za každou radu!

mancini · 07. 11. 2010 21:00

↑ blanvan: polynomy jsou vzdy spojite, pokud se jmenovatel nerovna nule

LukasM · 07. 11. 2010 21:21

↑ blanvan:
Ahoj. Začneme třeba s tou druhou funkcí.. Co prosím myslíš pojmem střed funkce?

Doporučuju si uvědomit, že $\frac{x-1}{x-1}=1$ pro $x\neq 1$ . V bodě x=1 funkce není definovaná. Ptáme se tedy, jestli v tomto bodě jde dodefinovat tak, aby nová funkce byla spojitá na R. Abychom to zjistili, je potřeba určit limitu funkce v tom problémovém bodě - pokud bude existovat a bude konečná, funkce půjde v daném bodě spojitě dodefinovat (a to právě hodnotou limity). V opačném případě to nepůjde. Že je to jediný problematický bod je dáno tím, že fce je dána podílem dvou spojitých polynomů.

U téhle funkce je to velice jednoduché, u té první bude potřeba o trošičku více práce, ale jak na to jsem ti už vlastně prozradil.

blanvan · 08. 11. 2010 17:35

Popravdě to moc nechápu, ale zkoušela jsem se dopídit alespoň k něčemu:

U té první funkce se jmenovatel nesmí rovnat 0, tak si vypočítám limitu pro x jdoucí k 0:
-zprava: lim -x/x + 1 = 1
-zleva: lim x/x +1 = 1

Funkce je tedy spojitá.

Je tam alespoň náznak něčeho správného? :)

U té druhé jsem postupovala obdobně: jmenovatel se nesmí rovnat 0, tak mám D(f) = R-{1}

Pak si vypočítám limitu pro x jdoucí k 1 zprava i zleva - v obou případech se bude rovnat 0...funkce by tedy měla být spojitá. Problém mám ale při načrtnutí grafu...ten přeci nejde načrtnout..?

jelena · 08. 11. 2010 23:30

↑ blanvan:

Zdravím,

1. funkce je $f(x)=\frac{|x|}{x} +1$ Tak?

pro interval (-oo, 0) je to $f(x)=\frac{-x}{x} +1$ limitu této funkce vyšetřuješ k 0 zleva graf se nakreslí jako $f(x)=-1+1=0$

pro interval (0, +oo) je to $f(x)=\frac{x}{x} +1$ limitu této funkce vyšetřuješ k 0 zprava graf se nakreslí jako $f(x)=1+1=2$

Myslím, že to máš v zápisu limit přehozeno. Tak?

V bodě x=0 funkce není definována. Pokud jsem správně rozluštila Tvé zadání, dodefinovat tato funkce nepůjde, ale mám pocit, že podle limit, co jsi vyšetřila, zápis mohl být jinak.

----------------------------------------------------------------
K zadání 2 graf po úpravě, jak napsal LukášM., nakreslit půjde (bude to přímka y=1 s "otevřeným bodem pro x=0 (prazdné kolečko). Tato funkce dodefinovat půjde (dodefinujeme, že pro x=0 f(x)=1).

Limita zprava a zleva k x=1 u zadání (2) $y=\frac{x-1}{x-1}$ ) mi vychází 1.

Bylo by lepší, pokud v tomto tématu budeš řešit jednu funkci a pro 2. si založ nové téma. Nedá se v tom vyznat. Děkuji.