Matematické Fórum

K úloze č. 2.

Začal bych tím, že bych určil bázi protsoru M . To se dělá tak, že vezmeme seznam G = (u_1, u_2, ..., u_n) jeho generátorů (kde  n > 0 ,
pokud úloha nemá být zcela triviální) -  M je tedy lineárním obalem seznamu G. Dále postupujeme podle následujícáho algoritmu:

1. Vezmeme prázdný seznam B  a položíme  i := 1 .

2.  Ptáme se:  Je u_i (patřící do seznamu G)  lineární kombinací vektorů ze seznamu B ?
(Je-li B prázdný, pak tato otázka je ekvivalentní  otázce "je u_i = 0 ?")
Jestliže je platná odpověď  NE, pak vektor u_i  přidáme k  sezmamu B.

3.  Ptáme se: Je i < n ?
V případě ANO  položíme i := i + 1  a pokračujeme krokem 2.
V případě NE algoritmus končí, seznam B ve svém výsledném stavu je bází prostoru M, počet prvků seznamu B je dimensí prostoru M.

Zda je daný vektor w prvkem prostoru M se pozná podle toho, zda ho lze vyjádřit jako lineární kombinaci generátorů prostoru M
(je výhodné vzít za seznam generátorů přímo bázi prostoru M) .  Tato úloha vede na soustavu lineárních rovnic (neznámými jsou
předpokládané koeficienty v té lineární kombinaci).  Technicky se soustavy lineárních rovnic řeší Gaussovou (resp. Gauss-Jordanovou)
eliminační metodou.

G je ten seznam vektorů    U = (2, 3, 5) ,  V = (3, 7, 8),  W = (1, -6, 1) .

V seznamu B na začátku nebude nic.

Nejprve dáme do seznamu B vektor U,  protože je nenulový.

Nyní zkoumáme, zda vektor V je lineární kombinací vektoru U,  což v tomto případě znamená, zda vektor V je násobkem vektoru U.
Vidíme, že není, protože  např.    7/3   <>  8/5 . Takže do seznamu B přidáme vektor V

Nakonec zkoumáme, zda W je lin. komb. vektorů U, V ,  tj. zda existují reál. č. x, y tak, aby W = xU  + yV .
Pokud dokážeme, že taková r.č. neexistují, pak do B zařadíme i vektor W, jinak ne.