Matematické Fórum

easy · 10. 01. 2011 16:53 — Editoval easy (10. 01. 2011 16:55)

Zdravím,

mohl by mi někdo poradit s následujícím zadáním?

Dokažte, že $\arctan(\frac{1}{2}) + \arctan(\frac{1}{3}) = \frac{\pi}{4}$ .

Napadlo mě, že by se to dalo řešit pomocé referenčních trojúhleníků ale nějak jsem to nepřevedl fo praxe. Jde mi spíše o radu, něco, co si mám uvědomit, než kompletní výpočet.

Děkuji za pomoc.

zdenek1 · 10. 01. 2011 17:04

↑ easy:
$\tan(x+y)=\frac{\tan x+\tan y}{1-\tan x\tan y}$

$\tan(\arctan(\frac{1}{2}) + \arctan(\frac{1}{3}))=$

easy · 10. 01. 2011 17:23

Děkuju, funguje vcelku jednoduše. Dalo by se to řešit pomocí referenčního trojúhelníku? Jde mi to, co by bylo rychlejší pro použití při zkoušce.

zdenek1 · 11. 01. 2011 09:53

↑ easy:
Nevím co je "refernční trojúhelník", ale napadly mě další dva důkazy.

1) označíme $\arctan\frac13=\alpha$ , $\arctan\frac12=\beta$ ,

pak na obrázku je trojúhelník $ABC$ rovnoramenný ( $|CB|=|CA|$ ) a současně pravoúhlý (snadno ověříme Pythagorovou větou). Takže $\alpha + \beta = \frac{90^o}2$ .

2) Při stejném významu $\alpha$ i $\beta$ .
komplexní číslo $z_1=3+i$ můžeme napsat v goniometrickém tvaru $z_1=\sqrt{10}(\cos\alpha+i\sin\alpha)$
komplexní číslo $z_2=2+i$ můžeme napsat v goniometrickém tvaru $z_2=\sqrt5(\cos\beta+i\sin\beta)$
potom $z_1\cdot z_2=5\sqrt2[\cos(\alpha+\beta)+i\sin(\alpha+\beta)]$

současně je $z_1\cdot z_2=(3+i)(2+i)=5+5i=5(1+i)=5\sqrt2(\frac{\sqrt2}2+i\frac{\sqrt2}2)$

takže $\cos(\alpha+\beta)=\frac{\sqrt2}2$

easy · 11. 01. 2011 15:51

Zdravím a děkuji. "Referenčním trojúhelníkem" jsem myslel metodu 1 kterou jste napsal, v angličtině se to jmenuje reference triangle tak jsem doufal, že existuje něco podobného v češtině.

Osobně se mi líbí ta metoda s tím náčrtkem.

Ještě jednou děkuji.

Matematické Fórum

#1 10. 01. 2011 16:53 — Editoval easy (10. 01. 2011 16:55)

Goniometrická rovnice - arctan()

#2 10. 01. 2011 17:04

Re: Goniometrická rovnice - arctan()

#3 10. 01. 2011 17:23

Re: Goniometrická rovnice - arctan()

#4 11. 01. 2011 09:53

Re: Goniometrická rovnice - arctan()

#5 11. 01. 2011 15:51

Re: Goniometrická rovnice - arctan()

Zápatí