Matematické Fórum

Ewel · 23. 01. 2011 22:09

$\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{9sin6x+2}{3x^2+2\pi^2}$
$\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{7x+cos^2(3x^3+2x^2+1)}{5\pi+9x}$
$\lim_{x\rightarrow\infty}\sqrt[3x]{3x}$
Snažila jsem se vypočítat tyto příklady, jelikož sem je měla u písemné zkoušky, ale vůbec mi to nejde.Děkuji za pomoct:)

kosto · 24. 01. 2011 09:27 — Editoval kosto (24. 01. 2011 14:47)

Podľa mňa takto:

1 a 2: Stačí si uvedomiť, že sínus a kosínus majú hodnoty len od -1 po 1. To znamená, že pre $x \to \infty$ majú v podstate váhu konštanty, a teda môžu byť zanedbané. Formálne takto:

$\frac{9\sin 6x + 2}{3x^2 + 2\pi^2} \leq \frac{9 \cdot 1 + 2}{3x^2 + 2\pi^2} = \frac{11}{3x^2 + 2\pi^2}$

Na druhej strane,

$\frac{9\sin 6x + 2}{3x^2 + 2\pi^2} \geq \frac{9 \cdot (-1) + 2}{3x^2 + 2\pi^2} = \frac{-7}{3x^2 + 2\pi^2}$

Platí

$\lim_{x \to \infty}\frac{11}{3x^2 + 2\pi^2} = 0$

a aj

$\lim_{x \to \infty}\frac{-7}{3x^2 + 2\pi^2} = 0$ ,

čo znamená, že podľa vety o troch limitách má aj $\frac{9\sin 6x + 2}{3x^2 + 2\pi^2}$ limitu 0.

V druhom príklade možno rovnakým spôsobom dôjsť k tomu, že jediná podstatná vec v čitateli je 7x a v menovateli 9x, čiže výsledok je $\frac{7}{9}$ .

3: Najprv by som spravil substitúciu $t = 3x$ . Čiže

$\lim_{x \to \infty}\sqrt[3x]{3x} = \lim_{t \to \infty}\sqrt[t]{t} = 1$ .

To, že tá limita je 1 je pomerne známa vec, ale v prípade potreby sa to dá dokázať takto:

$\sqrt[t]{t} = t^{\frac{1}{t}} = e^{\frac{1}{t}\ln t}$ ,

preto stačí vypočítať

$\lim_{t \to \infty}\frac{1}{t}\ln t = \lim_{t \to \infty}\frac{\ln t}{t}$ , lebo limita e na niečo je to isté ako e na limitu toho niečoho.

To sa dá spraviť pomocou l'Hospitalovho pravidla (čitateľ aj menovateľ ide do nekonečna):

$\lim_{t \to \infty}\frac{\ln t}{t} = \lim_{t \to \infty}\frac{\frac{1}{t}}{1} = 0$ .

Preto $\lim_{t \to \infty} \sqrt[t]{t} = \lim_{t \to \infty} e^{\frac{1}{t}\ln t} = e^0 = 1$ .

Ewel · 24. 01. 2011 20:28

děkuji moc za radu:)

Matematické Fórum

#1 23. 01. 2011 22:09

limity

#2 24. 01. 2011 09:27 — Editoval kosto (24. 01. 2011 14:47)

Re: limity

#3 24. 01. 2011 20:28

Re: limity

Zápatí