Matematické Fórum

Skrytý text:

Budou to asi některá čísla tvaru 81...,91... nebo ta, která mají na druhém místě nulu a na třetím nemají nulu.

Skrytý text:

Nechť je toto číslo tvaru pro a celé nezáporné a<=9 a .
Pak musí dle zadání platit: , což je po úpravě (*) , což dle jednoznačného rozkladu na prvočísla znamená, že a po dosazení do (*) je . Tedy hledaná čísla jsou ve tvaru pro n celé nezáporné.

(Pozn.: Je zřejmé, že splňuje-li požadavek úlohy číslo x, splňuje ho i jeho libovolný násobek deseti, takže by stačilo zkoumat čísla nekončící nulou, kterým se po vynásobení 3 nemění poslední číslice, což znamená, že poslední číslice je 5. Číslo, kterému se po vynásobení 73 nezmění poslední dvě číslice a končí na 5, musí končit na 25 nebo 75. Tímto postupem lze zjistit, že číslu končícímu 125 se po vynásobení 73 nezmění poslední tři číslice - navíc získáme 9125, které splňuje požadavky úlohy. U ostatních variant (koncové číslice) lze postupovat dále až přesáhneme horní mez 1 000 000 případně ověříme postupným přidáváním číslic, že jinými číslicemi hledané číslo končit nemůže.)