Matematické Fórum

jancidubova

Dobry vecer, !

tak predsa som narazil na vazny problem pri rieseni... priklady na 1 Eulera som pochopil, ale na tuto "druhu" akosi neviem prist, podarilo sa mi nejak zazracne vyjadrit "x" x=(1-2t)/(1+t**2) vyjadril som aj dx ... aôe co z toho ze aj ked vyjadrim samotne "t" z toho substitucneho vztahu, tak zadany integral je trochu odlisny a "t" po vyjadreni bude mat v menovateli "x" ... uz som to tam aj "nasurovo" povyjadroval za vsetky "x" tie tecka ...ale to tam samy sucin a nakoniec vyslo nejake polynomy t*6+t**5 ..... a v menovateli tiez nieco podobne .... a to ma k deklarovanemu vysledku daleko ...

dakujem za rady, dnes som sa uz preluskal cca 10 prikladmi od obeda, a tieto Eulerovky to "dorazili"

vdaka za rady a namety ...idem sa vyventilovat , pridem do 23 hod ...:)

uz som naspat- vonku sa to pekne zmenilo - odrazu zacalo snezit, ale samok, nic noveho :(

claudia

Pozor, o Eulerově substituci vím jen tolik, kolik mi právě prozradil Google :-) Navíc mi vyšel trochu jiný výsledek než udaný :-( Ale zkouška derivací vychází.

volíme (dle nápovědy :-) $\sqrt{1+x-x^2}=tx+1$

vyjádříme x:
$\sqrt{1+x-x^2}&=tx+1\\ 1+x-x^2&=t^2x^2+2tx+1\\ x-x^2&=t^2x^2+2tx\\ 1-x&=t^2x+2t\\ 1-2t&=t^2x+x\\ 1-2t&=$t^2+1$x\\ x&=\frac{1-2t}{t^2+1}$

derivujeme dle t:
$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=\frac{-2$t^2+1$-(1-2t)(2t)}{$t^2+1$^2}=\frac{2$t^2-t-1$}{$t^2+1$^2}$

a dosadíme

$&\int \frac{\mathrm{d}x}{$1+x$\sqrt{1+x-x^2}}\\ &=\int \frac{\mathrm{d}x}{$1+x$$tx+1$}\\ &=\int \frac{\mathrm{d}x}{$1+\frac{1-2t}{t^2+1}$$t\frac{1-2t}{t^2+1}+1$}\\ &=\int \frac{\frac{2$t^2-t-1$}{$t^2+1$^2}\mathrm{d}t}{$1+\frac{1-2t}{t^2+1}$$t\frac{1-2t}{t^2+1}+1$}\\ &=-2\int\frac{\mathrm{d}t}{$t-1$^2+1}\\ &=-2\int\frac{\mathrm{d}u}{u^2+1}\\ &=-2\mathrm{arctg}u + C\\ &=-2\mathrm{arctg}$t-1$ + C\\ &=-2\mathrm{arctg}$\frac{\sqrt{1+x-x^2}-1}{x}-1$ + C$

jancidubova

dobre ranko
, hmm zaujimave, vyzerato celkom pekkne, X sa mi podarilo vyjadrit presne tak ako TEBE taktiez aj dx, akurat s tym dosadzovanim ...
tecnicka otazka - tam v napovede su "2 vysledky" ten kladny a zaporny arctg, jeden pre jednu a druhy pre druhu substituciu / ak by niekto nerozumel :) /
ja po vcerajsom narocnom dni vecer som siel uz spať, ale tak dnes rano sa to vyčistilo - ako aj tu, tak aj vonku je bielo :)

kym pojdem do skoly pokusim sa este nejake upravy spravit abyy to = s vysledkom v napovede ...
pekny den prajem

/7:50/ hmm,musel som kdesi spravit chybu, vsak som to tam taktiez dosadzoval takymto stylom .... len teraz zistil ze kde ...
/8:15/ dx som vyjadril tak , ze cast skoncila v citateli a cast v menovateli ... a potom som to spravne nevykratil...
- dal som vysledok spracovat wolframu a alternative forms sa uz trochu blizi k deklarovanemu vysledku, akurat si myslim ze este by sa to malo dat upravit a tym aj zmenit znamienko v argumente 2 atan x ... :) http://www3.wolframalpha.com/input/?i=- … 8x%29-1%29
skola voda, takze dovidenia - naschledanou , niekedy nabuduce

/16:05! do 24 hod od uvverejnenia prvej reakcie oznacim tuto temu za vyriesenu, zatial necham moznost na vyjadrenie... :)

claudia

$&=-2\mathrm{arctg}$\frac{\sqrt{1+x-x^2}-1}{x}-1$ + C\\ &=2\mathrm{arctg}$-\frac{\sqrt{1+x-x^2}-1}{x}+1$ + C\\ &=2\mathrm{arctg}$-\frac{\(1+x-x^2$-1}{x$\sqrt{1+x-x^2}+1$}+1\) + C\\ &=2\mathrm{arctg}$\frac{x^2-x}{x\(\sqrt{1+x-x^2}+1$}+1\) + C\\ &=2\mathrm{arctg}$\frac{x-1}{\sqrt{1+x-x^2}+1}+1$ + C$

jancidubova

↑ claudia:dakujem pekne este raz , za podrobnu upravu ... :) teraz mam , ale ine problemy s rekurentnymi vztahmi pre "ulahcenie" vypoctu integralu, takze tak ...
http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?id=27743

Matematické Fórum

#1 02. 03. 2011 21:12 — Editoval jancidubova (02. 03. 2011 22:30)

Iracionalny integral pouzitie Eulerovej substitucie

#2 03. 03. 2011 00:55 — Editoval claudia (03. 03. 2011 01:31)

Re: Iracionalny integral pouzitie Eulerovej substitucie

#3 03. 03. 2011 07:00 — Editoval jancidubova (03. 03. 2011 16:04)

Re: Iracionalny integral pouzitie Eulerovej substitucie

#4 03. 03. 2011 16:31 — Editoval claudia (03. 03. 2011 16:37)

Re: Iracionalny integral pouzitie Eulerovej substitucie

#5 03. 03. 2011 20:11 — Editoval jancidubova (03. 03. 2011 20:34)

Re: Iracionalny integral pouzitie Eulerovej substitucie

Zápatí