Matematické Fórum

Skrytý text:

Pro případ, že by šlo o nějakou soutěžní úlohu nebo tak, dovolím si malé zobecnění na libovolný trojúhelník.


Když se podíváme, co ten kruh ve skutečnosti projede, tak nám zbydou tři neprojeté části u vrcholů a pravděpodobně také trojúhelník uvnitř zadaného trojúhelníka (jestli ano, to závisí hlavně na r).

Na prvním obrázku ukazuju trajektorii středu kruhu. Na druhém ten kruh u obecného vrcholu. Počítejme polovinu obsahu nezasažené části u vrcholu, tedy obsah trojúhelníka SPV mínus obsah části kruhu u vrcholu S. Úhel u vrcholu S je , tedy obsah této části kruhu je , obsah (pravoúhlého) trojúhelníka SPV je jasný.

Výše zmiňovaný nezasažený trojúhelník uvnitř zadaného trojúhelníka je jistě s ním podobný, takže se stačí (podle třetího obrázku) zaměřit na velikost jedné jeho strany. Není vůbec těžké spočítat, jak bude třeba strana a zkrácena "u svých vrcholů". Pokud tak vznikne kladné číslo a', zůstal uvnitř nezasažený trojúhelník a jeho obsah je již vlastně spočítán, neboť musí být -násobkem obsahu původního trojúhelníka.

EDIT: Pokud jsem se tedy nikde nepřepočítal, tak pro zadaný trojúhelník to dává

(pro jiné hodnoty r úloha nemá smysl).

Poznámka: Při výpočtu je žádoucí neunáhlovat se při vyčíslování úhlů u vrcholů trojúhelníka, neboť dva z nich nejsou "hezké" úhly, což nevadí, protože bohatě vystačíme s tangentama jejich polovin, což jsou po řadě čísla , a , a s faktem, že součet vnitřních úhlů trojúheníka je 180°.