Matematické Fórum

wendelin9 · 08. 04. 2011 13:44

Ahoj,

mám problém s příkladem na inverzní zobrazení k danému zobrazení.. něco jsem spočítala, ale výsledku příliš nevěřím (nebo spíš svému postupu) - nemám totiž ponětí, co znamená 3. řádek zadání (viz. níže)

Zde je zadání příkladu:

Zobrazeni f R^3->R^3 je dano predpisem (x,y,z)->[3x-4z, 4x-3y-4z, 5x+2y-4z]
Najdete hodnotu inverzniho zobrazeni v bode [x,y,z], tj zobrazeni g, pro ktere plati
f(g([x,y,z])=g(f([x,y,z])=[x,y,z] v bode (x,y).

Já postupovala takto:

3*x-4*z = a
4*x-3*y-4*z = b
5*x+2*y-4*z = c

postupně jsem dosazovala, až mi vyšlo [x, y, z] inverzního zobrazení, ve kterém jsem jen zaměnila a za x, b/y, c/z

Můj výsledek:
[x/3 + 4z/3, 4x/9 - y/3 + 28z/9, -7x/32 + 3y/16 + 9z/32]

Může mi prosím někdo říct, jestli je postup správný? A jestli ne, tak mi poradit, jak na tento příklad?

Díky, V.

Rumburak

Ten třetí řádek zřejmě má být

(1) f(g([x,y,z])=g(f([x,y,z])=[x,y,z] v bode (x,y,z).

Je to podmínka z definice, že zobrazení g je inversní k f.

Postup máš správně (odhlédneme-li od toho, že se snad mělo využít nějakých pokročilejších metod, než jako na SŠ),
ale nejsem si jist, zda je správně i výsledek (vychází mi to jinak, ale mohl jsem se splést já).

Můžeš případně provést zkoušku podle (1) . Když vyjde

f([x/3 + 4z/3, 4x/9 - y/3 + 28z/9, -7x/32 + 3y/16 + 9z/32])=[x,y,z] ,

znamená to, že výpočet g([x,y,z]) = [x/3 + 4z/3, 4x/9 - y/3 + 28z/9, -7x/32 + 3y/16 + 9z/32] je správně.

Úlohu lze řešit přes matice : Prosté lineární zobrazení zapíšeme pomocí jeho matice A ve tvaru f(u) = Au , kde u = [x, y, z]^T
a hledáme matici B inversní k A. Zobrazení g inversní k f pak bude mít tvar g(u) = Bu.

wendelin9 · 08. 04. 2011 16:15

Tak už sem na to přišla ;)

vyšla mi i zkouška, měl jsi pravdu - měla jsem to špatně, správný výsledek je:

[-5x/8 + y/4 + 3z/8, x/8 - y/4 + z/8, -23x/32 + 3y/16 + 9z/32]

Děkuju za pomoc ;)

Matematické Fórum

#1 08. 04. 2011 13:44

Inverzní zobrazení

#2 08. 04. 2011 15:23 — Editoval Rumburak (08. 04. 2011 15:49)

Re: Inverzní zobrazení

#3 08. 04. 2011 16:15

Re: Inverzní zobrazení

Zápatí