Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
Ahoj, neviete poradiť ako dokázať Surveyorov vzorec pre výpočet obsahu mnohouholníka?
.
Rozumiem čo ten vzorec počíta ale ani za svet neviem príjsť na to prečo to dá správny výsledok.
Nevie mi dójsť, že tie vektorové súčiny sa posčitujú správne tak, že do dá obsah mnohouholníka, príp. jeho opačnú hodnotu.
Offline
Snad by to mohlo jít dokázat úplnou indukcí.
Předpokládám, že n je počet vrcholů n-úhelníka. V úvodním kroku tedy bude nutno dokázat platnost vzorce pro trojúhelník, tj. pro n = 3 .
Odhaduji, že by mohly pomoci známé vzorce
(1) (pro obsah trojúhelníka, jehož strany a, b svírají úhel gamma) ,
(2) (kosínová věta pro tentýž trojúhelník) ,
(3) ( ) ,
pomocí posledního vztahu dostaneme do (1) ty souřadnice jednotlových bodů.
Indukční krok už by neměl být těžký, uvážíme-li, že (n + 1) -úhelník lze přímkou rozdělit na n-úhelník a trojúhelník.
POZNÁMKA : Podle vzorce, který chceme dokazovat, může vyjít obsah n-úhelníka i záporný - v závislosti na tom, v jakém pořadí body
očíslujeme, tj. podle toho, jak zvolíme orientaci lomené čáry tvořící hranici n-úhelníka.
EDIT: Na upozornění kolegy Cheopa jsem opravil chybu ve vzorci (1).
Offline
↑ Rumburak:
No, rozumiem ale celkom mi z toho ešte nie je jasné, že to je z toho dôkazu jasné aj pre nekonvexné mnohouhoníky, lebo s tými som mal práve problém - pri konvexných je to jasné.
Ďakujem.
Offline
↑ pizet:
Jak již bylo konstatováno, oním vzorcem se počítá obsah n-úhekníka s přihlédnutím k orientaci jeho hranice :
ta orientace jeho hranice - krátce říkejme orientace n-úhelníku - se promítne do znaménka výsledku.
Takže např. máme-li orientovaný trojúhelník ABC (orientaci vyznačujeme uspořádáním vrcholů v zápisu) a vezme-li
bod A' souměrný s A podle přímky BC, pak trojúhelníky ABC , A'BC budou orientovány opačně (protože druhý je "překlopením"
toho prvního podle strany BC) a Surveyorův vzorec pro ně dá výsledky lišící se znaménkem.
Mějme n-úhelník M a uvažujeme dva pokusy:
1) K M a k jeho zvolené straně c "přilepíme" trojúhelník T .
2) Z M "vykousneme" trojúhelník T' symetrický s T dle přímky procházející stranou c,
Orientaci nového obrazce volíme vždy tak, aby nebyla porušena orientace těch stran, které zůstaly ještě z obrazce M.
Obsah obrazce M počítaný Surv. vzorcem se změní v prvém případě z S na S+ h, ve druhém případě z S na S - h .
Tím netvrdím nic o znaménku čísla h , keré závisí na zvolené orientaci obrazce M podobně jako číslo S .
Offline