Matematické Fórum

pizet · 17. 04. 2011 22:59

Ahoj, neviete poradiť ako dokázať Surveyorov vzorec pre výpočet obsahu mnohouholníka?

$S = \frac{1}{2}\sum^{n-1}_{i=0}(x_iy_{i+1} - x_{i+1}y_i)$ .

Rozumiem čo ten vzorec počíta ale ani za svet neviem príjsť na to prečo to dá správny výsledok.

Nevie mi dójsť, že tie vektorové súčiny sa posčitujú správne tak, že do dá obsah mnohouholníka, príp. jeho opačnú hodnotu.

Rumburak

Snad by to mohlo jít dokázat úplnou indukcí.

Předpokládám, že n je počet vrcholů n-úhelníka. V úvodním kroku tedy bude nutno dokázat platnost vzorce pro trojúhelník, tj. pro n = 3 .
Odhaduji, že by mohly pomoci známé vzorce

(1) $S_3=\frac{ab}{2}\sin\gamma$ (pro obsah trojúhelníka, jehož strany a, b svírají úhel gamma) ,

(2) $c^2 = a^2 + b^2 -2ab \cos \gamma$ (kosínová věta pro tentýž trojúhelník) ,

(3) $\cos \gamma = \frac{\vec a \cdot \vec b }{ab}$ ( $\vec a = B-C, \,\,\vec b = A-C,\,\,\,|\vec a| = a, \,\,\,|\vec b| = b$ ) ,

pomocí posledního vztahu dostaneme do (1) ty souřadnice jednotlových bodů.

Indukční krok už by neměl být těžký, uvážíme-li, že (n + 1) -úhelník lze přímkou rozdělit na n-úhelník a trojúhelník.

POZNÁMKA : Podle vzorce, který chceme dokazovat, může vyjít obsah n-úhelníka i záporný - v závislosti na tom, v jakém pořadí body
očíslujeme, tj. podle toho, jak zvolíme orientaci lomené čáry tvořící hranici n-úhelníka.

EDIT: Na upozornění kolegy Cheopa jsem opravil chybu ve vzorci (1).

Cheop · 18. 04. 2011 10:06 — Editoval Cheop (18. 04. 2011 10:35)

↑ Rumburak:
Toto neplatí $S_3=\frac{a}{b}\sin\gamma$ (asi jen překlep)
Platí toto:
$S_3=\frac{a\cdot b}{2}\sin\gamma$

Rumburak · 18. 04. 2011 10:19

↑ Cheop:
Máš samozřejmě pravdu, dík za upozornění, ostudný překlep již opraven.

musixx · 18. 04. 2011 10:47

Na Google jsem našel třeba toto. Zobecnění i na jistý typ křivek.

pizet · 18. 04. 2011 16:06

↑ Rumburak:

No, rozumiem ale celkom mi z toho ešte nie je jasné, že to je z toho dôkazu jasné aj pre nekonvexné mnohouhoníky, lebo s tými som mal práve problém - pri konvexných je to jasné.

Ďakujem.

Rumburak · 18. 04. 2011 17:02

↑ pizet:

Jak již bylo konstatováno, oním vzorcem se počítá obsah n-úhekníka s přihlédnutím k orientaci jeho hranice :
ta orientace jeho hranice - krátce říkejme orientace n-úhelníku - se promítne do znaménka výsledku.

Takže např. máme-li orientovaný trojúhelník ABC (orientaci vyznačujeme uspořádáním vrcholů v zápisu) a vezme-li
bod A' souměrný s A podle přímky BC, pak trojúhelníky ABC , A'BC budou orientovány opačně (protože druhý je "překlopením"
toho prvního podle strany BC) a Surveyorův vzorec pro ně dá výsledky lišící se znaménkem.

Mějme n-úhelník M a uvažujeme dva pokusy:

1) K M a k jeho zvolené straně c "přilepíme" trojúhelník T .

2) Z M "vykousneme" trojúhelník T' symetrický s T dle přímky procházející stranou c,

Orientaci nového obrazce volíme vždy tak, aby nebyla porušena orientace těch stran, které zůstaly ještě z obrazce M.

Obsah obrazce M počítaný Surv. vzorcem se změní v prvém případě z S na S+ h, ve druhém případě z S na S - h .
Tím netvrdím nic o znaménku čísla h , keré závisí na zvolené orientaci obrazce M podobně jako číslo S .

Matematické Fórum

#1 17. 04. 2011 22:59

Obsah mnohouholníka

#2 18. 04. 2011 09:57 — Editoval Rumburak (18. 04. 2011 10:21)

Re: Obsah mnohouholníka

#3 18. 04. 2011 10:06 — Editoval Cheop (18. 04. 2011 10:35)

Re: Obsah mnohouholníka

#4 18. 04. 2011 10:19

Re: Obsah mnohouholníka

#5 18. 04. 2011 10:47

Re: Obsah mnohouholníka

#6 18. 04. 2011 16:06

Re: Obsah mnohouholníka

#7 18. 04. 2011 17:02

Re: Obsah mnohouholníka

Zápatí