Matematické Fórum

↑ Keo:

Ahoj, asi nechápu dotaz: Vektory v bázi tvoří bázi, vektory v jiné bázi tvoří taky bázi. Když udělám nějakou elementární transformaci na vektorech z báze, mám pořád bázi. : )) Jestli se ptáš: "Lze převést el. transformacemi jednu bázi v nějakou jinou, někde v zadání určenou, bázi?", pak to lze udělat právě v tom případě, když obě ty báze generují stejný vektorový prostor (tedy jsou-li to dvě báze jednoho vekt. prostoru).

↑ Keo:

Promiň, ale asi mi není jasné tvoje značení : )) Nepoznám z toho ani, co je vektor, co je báze, příp. co je to poslední (podobá se to souřadnicím vůči něčemu, ale pak zase není jasné, vůči čemu)

↑ Keo:

ááá, už mi asi svitlo : ))

jsou tedy přímo vektory z báze Y? a tedy tvoří bázi X, chápu-li to dobře?

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------

Jestli je to opravdu tak, jak si myslím, radil bych tento postup:

Pro vyjádření souřadnic vektoru x vzhledem k bázi Y stačí jednoduše do vztahu, kterým je vektor x definován, dosadit za dosadit příslušné lin. kombinace vektorů (ty lze vyčíst ze souřadnic těchto vektorů vzhledem k bázi Y), tím vlastně určíme vektor x jako lin. kombinaci vektorů z báze Y a vyčteme přímo souřadnice.

No a pro vyjádření souřadnic vektoru x vzhledem k bázi X bych postupoval obdobně, ovšem to je potřeba prvně spočítat souřadnice vektorů vzhledem k bázi X. To by ovšem neměl být problém - kdo se orientuje v maticích přechodu, ten ví, že stačí nalézt inverzní matici (myslím, že to tak je, v tomto trochu plavu, ale mělo by to tak být i z toho, jak si to tu tak čmrkám na papír jako soustavu rovnic) k matici,která má za sloupce souřadnice vektorů vzhledem k bázi Y, a vyjde mu matice, která má za sloupce souřadnice vektorů vzhledem k bázi X.

↑ Keo:

Tak jsem to pochopil dobře. Odpověděl jsem v mezičase jako edit výše ; )).

↑ Keo:

Jednodušeji, stačí si uvědomit:
, analogicky pro ostatní dva. To pak stačí dosadit a užitím stejné ekvivalence zjistíš souřadnice vektoru vzhledem k bázi Y.

↑ Keo:

No to už ti dává přímo ty souřadnice. zase platí


Problematičtější je, vyjádřit teď to jako lineární kombinaci vektorů , tedy druhá část zadání. Na to potřebujeme vektory vyjádřit jako lineární kombinace vektorů - neboli potřebujeme znát souřadnice oněch dvou vektorů vzhledem k bázi X. No a na ty přijdeš pomocí té inverzní matice (viz výše).

↑ Keo:

No právě to hezké na té úloze je, že ty vlastně vektory vůbec neznáš, to můžou být libovolné vektory z libovolného vektorového prostoru dimenze 3 (nejspíš nad tělesem charakteristiky 0). To může být třeba vektorový prostor polynomů nejvýše 3. stupně nebo já nevím čeho. Tobě stačí pracovat jen se souřadnicemi jedněch těch vektorů vzhledem k té druhé bázi a naopak. Výsledkem taky není vektor x, ale jeho souřadnice k těm jednotlivým bázím. Teoreticky by ten příklad šel zadat jednodušeji (jednu "soustavu souřadnic" bychom zkrátka nazvali "kanonická báze" a uvažovali bychom jen aritmetické vektory), ale takhle je to hezké na představivost : ))

EDIT: To byla reakce předtím, nežs to editoval.

Tady je poněkud zmatené značení, vektor x nemá něco jako "svoji" bázi (resp. existuje určitě báze, ve které vektor x je, ale takové my v tomto příkladu vůbec neuvažujeme). souřadnice vektoru x vzhledem k bázi X jsou koeficienty z lineární kombinace vektorů z báze X - tedy vektorů . My tedy musíme vyjádřit vektor x nějak takto , přičemž pak už budeme vědět, že souřadnice x vzhledem k bázi X jsou . Na to ale musíme prvně zjistit souřadnice vektorů vzhledem k bázi X, abychom pak za obdobně jako v prvním případě dosadili nějaké lineární kombinace vektorů z báze X, tím zjistili ony koeficienty (a,b,c) a tím tedy ty souřadnice (obdobně jako v prvním případě). Postup je vlastně zcela analogický, jen na začátku máme jako práci navíc najít souřadnice těch vektorů z Y vzhledem k bázi X.

↑ Keo:

jojo, to je ono. "Nahradíš y", ale musíš prvně vědět, čím - k tomu, jak získat příslušné souřadnice, viz výše.

Úplně stejně jako předtím.



Aby to bylo jasnější, proč to tak je, mrkni na odkaz. Je vidět, že tato ekvivalence plyne přímo z definice. ; ))

Ještě bych tě poprosil, uprav zadání hned v prvním příspěvku tak, aby bylo jasné, jak ten příklad byl zadán. Ač je tu příspěvků mraky, občas v tom někdo hledá řešené příklady na nějaké téma (já to tak třeba občas dělám) a je dobré, když je hned z úvodního příspěvku poznat jasně celé zadání příkladu.

↑ Keo:

Pardon, teď jsem si všiml, že mi tam někde ty indexy přebývaly a tudíž matly, už je to spravené. Moje chyba.