Matematické Fórum

Bawler · 06. 05. 2011 17:08 — Editoval Bawler (06. 05. 2011 17:45)

Určete vzájemnou polohu přímky p a roviny alfa. V případě různoběžnosti určete souřadnice průsečíku.

p... x: 3-t
y: 5t
z: 6-5t

alfa... x= 6+r-s
y= r+s
z= 2-2s

Příklad jsem řešil tak, že jsem pomocí vektorového součinu směrových vektorů roviny vypočítal normálový vektor roviny alfa(-1,1,1). Poté jsem napsal obecnou rovnici roviny.

alfa... -x+y+z+d = 0 - a po dosazení bodu [6,0,2] mi vyšla rovnice -x+y+z+4 = 0
Poté jsem dosadil hodnoty x,y,z parametrické rovnice přímky p do obecné rovnice alfy.
Vyšlo mi: -(3-t)+(5t)+(6-5t)+4=0
t = -7
Potom jsem hodnotu parametru t dosadil do parametrické rovnice přímky p a vyšel mi průsečík přímky a roviny [10,-35,41].
Můj dotaz ale je, jak je možné vyšetřit vzájemnou polohu této přímky a roviny. Nebo to zjistíme nějak při počítání toho parametru?

Dana1 · 06. 05. 2011 17:37

↑ Bawler:

Myslím, že je to takto:

Pri riešení rovnice Ti vyšlo jediné t a teda Ti vyšiel jediný priesečník priamky s rovinou, čo znamená, že priamka a rovina sú rôznobežné.

Mohlo by sa ale stať, že pri riešení rovnice s parametrom t (btw, asi miesto d má byť číslo 4) by Ti vyšlo, že rovnica nemá riešenie, vtedy by spoločný bod neexistoval a priamka by bola rovnobežná s rovinou.

Mohlo by sa tiež stať, že riešenie by od t nezáviselo (pri riešení rovnice by vyšla pravda pre všetky hodnoty t - rovnica by mala nekonečne veľa riešení) a to by znamenalo, že všetky body priamky sú súčasne aj body roviny, t.j. priamka leží v rovine.

Bawler · 06. 05. 2011 17:47

Ano, máte pravdu. Místo toho d patří 4 - jen jsem to špatně opsal. A Vaši myšlenku jsem si říkal také, jen mne nenapadlo, kdy by to nemělo řešení a nebo kdy by to mělo řešení pro všechna t. Přijde mi totiž, že ta rovnice má nějaké t vždy, a vždy by se mělo dát dosadit.

hradecek · 06. 05. 2011 17:49

↑ Bawler:
Majme rovinu $\rho$ a priamku $p$ , potom môžu nastať tri prípady ich vzájomnej polohy:

1.)Rôznobežné
$p\cap \rho=A\\ \vec{u}.\vec{n}\neq 0$

2.)Rovnobežné
$p\cap \rho = \emptyset\\ \vec{u}.\vec{n}=0\\ A\notin \rho \wedge A\in p$

3.) Totožné
$p\cap \rho = p\\ p\in \rho\\ \vec{u}.\vec{n}=0\\ A\in\rho \wedge A\in p$

Bawler · 06. 05. 2011 17:56

Takže pokud tomu správně rozumím, tak přímka a rovina jsou rovnoběžné, pokud se skalární součin směrového vektoru přímky a normálového vektoru roviny rovná nule?

Dana1 · 06. 05. 2011 19:02 — Editoval Dana1 (06. 05. 2011 19:02)

↑ Bawler:

Ale musí byť splnená aj ďalšia podmienka, ako napísal

hradecek:

$p\cap \rho = \emptyset\\ \vec{u}.\vec{n}=0\\ A\notin \rho \wedge A\in p$

Bawler · 06. 05. 2011 19:12

Ano už tomu rozumím. Děkuji.

Matematické Fórum

#1 06. 05. 2011 17:08 — Editoval Bawler (06. 05. 2011 17:45)

Poloha přímky a roviny...

#2 06. 05. 2011 17:37

Re: Poloha přímky a roviny...

#3 06. 05. 2011 17:47

Re: Poloha přímky a roviny...

#4 06. 05. 2011 17:49

Re: Poloha přímky a roviny...

#5 06. 05. 2011 17:56

Re: Poloha přímky a roviny...

#6 06. 05. 2011 19:02 — Editoval Dana1 (06. 05. 2011 19:02)

Re: Poloha přímky a roviny...

#7 06. 05. 2011 19:12

Re: Poloha přímky a roviny...

Zápatí