Matematické Fórum

Lukee · 26. 05. 2008 19:44

Nalezněte ortogonální projekci y a ortogonální komponentu z vektoru x na podprostor W = L(u, v, w), je-li:

x = (5, 2, -2, 2); u = (2, 1, 1, -1), v = (1, 1, 3, 0), w = (1, 2, 8, 1).

Jaký je zde postup? Nejsem si jistý, jestli jsem ho rozluštil z přednášky správně; zatím mám tohle:

$x\cdot u = x_1\cdot u\cdot u + x_2\cdot v\cdot u + x_3\cdot w\cdot u\nl x\cdot v = x_1\cdot v\cdot u + x_2\cdot v\cdot v + x_3\cdot w\cdot v\nl x\cdot w = x_1\cdot w\cdot u + x_3\cdot v\cdot w + x_3\cdot w\cdot w$

Po dosazení:

$7x_1 + 6x_2 + 11x_3 = 8\nl 6x_1 + 11x_2 + 27x_3 = 1\nl 11x_1 + 27x_3 + 70x_3 = -5$

Tohle je docela nešikovná soustava rovnic, prozatím tam vždycky vycházela hezká čísla, takže si nejsem jistý, jestli jsem někde neudělal nějakou chybu :-). Je tedy současný postup správný?

A druhá otázka — tímhle postupem vypočítám vlastně co? Sečtu x_1*u + x_2*v + x_3*w a dostanu vektor u_0, chápu to správně? (u_0 je ortogonální projekce.)

Kondr · 26. 05. 2008 20:56

Postup je správný a řešení (2,-1,0) mi nepřipadá ošklivé. (Soustava má oo řešení, protože je W dvojrozměrný. Lze BÚNO položit x3=0.)

Lukee · 26. 05. 2008 21:19

Díky. Takže vychází x1=2, x2=-1, x3=0. Odtud $u_0=2\cdot u + v = (3, 1, -1, -2)$ a pak $u^\perp = x-u_0=(2,1,-1,4)$ . Je tak?

Kondr · 26. 05. 2008 23:01

Až na numerické chyby, které jsem coby moderátor srovnal -- ano.
Kontrola: $u^{\perp}$ musí být kolmé na všechny vektory W a na u_0, navíc $u_0+u^{\perp}=u$ . Pokud jsou všechny tyto podmínky splněny, je řešení správné.

Matematické Fórum

#1 26. 05. 2008 19:44

Ortogonální projekce a ortogonální komponenta

#2 26. 05. 2008 20:56

Re: Ortogonální projekce a ortogonální komponenta

#3 26. 05. 2008 21:19

Re: Ortogonální projekce a ortogonální komponenta

#4 26. 05. 2008 23:01

Re: Ortogonální projekce a ortogonální komponenta