Matematické Fórum

martanko · 28. 05. 2008 12:08

s tymto prikladom si neviem dat rady.. skusku som sice urobil ale tomuto prikladu aj tak nerozumiem a chcem vedet ako sa to rata a preco to tak je... takze: Over ze zobrazenie

$s(\alpha , \beta) = 2a_1b_1 - 3a_1b_2 - 3a_2b_1 + a_2b_2$

je skalarny sucin a najdi ortogonalizacnu bazu priestoru $(V_2(R), s)$

viem ze je to skalarny sucin..dokonca aj viem ako bude vyzerat ta baza..ale ako sa k tomu dopracujem..uuf.. neviem, kto vie nech prezradi :)

roman0159 · 28. 05. 2008 13:29

Či je to skalárny súčin sa overí z definície. Treba overi?, či:
1) u.v = v.u (platí to, lebo sú pred členmi "a1b2" a "a2b1" rovnaké koeficienty)
2) u.(v+w) = u.v + u.w (dosadíš si namiesto vektoru (b1, b1) vektor (v1+w1, v2+w2), roznásobíš a porovnáš s pravou stranou)
3) u.(c.v) = c.(u.v) kde c je konštanta (rovnako ako 2) - za vektor b si dosadíš vektor c.v)
4) pre všetky u: u.u >= 0 a tiež u.u = 0 vtedy a len vtedy keď u = (0,0)

v 4) prvá čas? určite neplatí - napr. pre vektor u=(1,1): u.u = 2-3-3+1 = -3 < 0
teda to NIE JE skalárny súčin

Druhá čas? otázky potom nedáva celkom zmysel.. Jedine, že by sa tým myslel štandardný skalárny súčin. (potom by si bázu našiel Gram-Schmidtovým procesom alebo sústavou rovníc)

martanko · 28. 05. 2008 13:53

↑ roman0159:
jj..viem ze musim overit tieto 4 veci.. to by som aj nejak overil..staci ak ten predpis zapises do matice .. ak sa da zapisat do matice tak uz mas splnene prve 3 podmienky bez toho ze ich budes overovat..teda pod podmienkou ze ta matica bude symetricka :) 4ta podmienka neviem ako sa robi... ale skalarny sucin to je, ratal nam to docent na prednaske, a este som bol na konzultacke ze ako sme na to prisli ze je to skalarny.. ale darmo ked euklidove vekt. priestory bola posledna tema ktoru sme brali z rychlika.. takze skalarny sucin to isto...

..no a to ma akurat zaujima.. ta gram-schmidtova ortogonalizacna metoda..ze ako sa to ma tam robit. viem akurat overit ze ci su na seba kolme a ci maju dlhzku 1 ...ale ako ich skratim na velkost 1 a ako ich urobim kolmymi na seba to neviem :/

roman0159 · 28. 05. 2008 15:14

No ja neviem.. Ta 4. podmienka proste s vektorom (1,1) nesedí. Neopísal si zle zadanie?

A ortonormálnu bázu urobíš tak, že 1. bázový vektor si zvolíš (napr. (1,0) - ten už má jednotkovú dĺžku) a druhý dorátaš tak, aby mali spolu skalárny súčin rovný nule. Čiže hľadáš vektor (x, y) a musí preň plati? 2*1*x - 3*1*y - 3*0*x + 1*0*y
čiže 2x=3y, čo platí pre vektor (3,2). Znormalizuješ ho tak, že zistíš jeho dĺžku (odmocnina z 13) a predelíš ňou obe jeho zložky.
Čiže jedna z ortonormálnych báz je aj (1,0), (3/13^0.5, 2/13^0.5).

Ale tá báza nie je jednoznačne určená - závisí od voľby 1. vektora. A gram-schmidtov proces je tu celkom zbytočný - takto je to jednoduchšie.

martanko · 28. 05. 2008 15:31

↑ roman0159:
2x by som to opisal zle? :D s tym vektorom mas pravdu.. zvolis si vektor ((1,0)(0,1)) .. a potom tam vyjdu dake odmocniny..

Matematické Fórum

#1 28. 05. 2008 12:08

najdi ortogonalizacnu bazu priestoru

#2 28. 05. 2008 13:29

Re: najdi ortogonalizacnu bazu priestoru

#3 28. 05. 2008 13:53

Re: najdi ortogonalizacnu bazu priestoru

#4 28. 05. 2008 15:14

Re: najdi ortogonalizacnu bazu priestoru

#5 28. 05. 2008 15:31

Re: najdi ortogonalizacnu bazu priestoru