Matematické Fórum

Či je to skalárny súčin sa overí z definície. Treba overi?, či:
1) u.v = v.u (platí to, lebo sú pred členmi "a1b2" a "a2b1" rovnaké koeficienty)
2) u.(v+w) = u.v + u.w (dosadíš si namiesto vektoru (b1, b1) vektor (v1+w1, v2+w2), roznásobíš a porovnáš s pravou stranou)
3) u.(c.v) = c.(u.v) kde c je konštanta (rovnako ako 2) - za vektor b si dosadíš vektor c.v)
4) pre všetky u: u.u >= 0 a tiež  u.u = 0 vtedy a len vtedy keď u = (0,0)

v 4) prvá čas? určite neplatí - napr. pre vektor u=(1,1): u.u = 2-3-3+1 = -3 < 0
teda to NIE JE skalárny súčin

Druhá čas? otázky potom nedáva celkom zmysel.. Jedine, že by sa tým myslel štandardný skalárny súčin. (potom by si bázu našiel Gram-Schmidtovým procesom alebo sústavou rovníc)

No ja neviem.. Ta 4. podmienka proste s vektorom (1,1) nesedí. Neopísal si zle zadanie?

A ortonormálnu bázu urobíš tak, že 1. bázový vektor si zvolíš (napr. (1,0) - ten už má jednotkovú dĺžku) a druhý dorátaš tak, aby mali spolu skalárny súčin rovný nule. Čiže hľadáš vektor (x, y) a musí preň plati? 2*1*x - 3*1*y - 3*0*x + 1*0*y
čiže 2x=3y, čo platí pre vektor (3,2). Znormalizuješ ho tak, že zistíš jeho dĺžku (odmocnina z 13) a predelíš ňou obe jeho zložky.
Čiže jedna z ortonormálnych báz je aj (1,0), (3/13^0.5, 2/13^0.5).

Ale tá báza nie je jednoznačne určená - závisí od voľby 1. vektora. A gram-schmidtov proces je tu celkom zbytočný - takto je to jednoduchšie.