Matematické Fórum

Orbuth · 22. 05. 2011 20:07

Ahoj už to tu jednou zmiňovala zuzule tu stejnou rovnici, ale nějak to tam není dořešené a já bych potřebovala poradit jak mám upravit rovnici pro skládání permutací, která vypadá třeba takhle:
$A.B^{-1}.X.A^{-1}.B=C^{-1}$
A problém je vtom, že nevím jak to mám "roznásobit" abych osamostatnila na levé straně to X a potom ty permutace správně na pravé straně složila. Vím, že mi $A^{-1}.A=1$ ale nevím, jestli když udělám $A.A^{-1}=1$ jestli je to taky správně, pokud by to bylo správně, tak mi výjde $X=C^{-1}$ .

Díky za radu

Orbuth · 22. 05. 2011 20:12

Tím násobením myslím toto, jak poznám, kdy to mám násobit z prava a kdy z leva, když mám zadanou nějakou rovnici.
Násobení prvku x prvekm y zleva zmanená y.x. Násobení prvekm y zprava pak znamená x.y.

Pavel Brožek · 22. 05. 2011 20:17

Uvědomuješ si, že skládání permutací není komutativní?

Ano, ke každé permutaci $A$ existuje $A^{-1}$ taková, že $AA^{-1}=A^{-1}A=1$ .

Výsledek ale není $X=C^{-1}$ .

Orbuth · 22. 05. 2011 20:21

Jo to vím, že není jedno jak permutace skládám a právě proto potřebuji nějak objasnit jak poznám jak to přesně mám upravit aby mi vyšel správnej výsledek.

Pavel Brožek

↑ Orbuth:

Chci postupně „odstranit“ permutace z levé strany tak, aby mi tam zůstalo samotné X. První krok může být třeba vynásobení obou stran zleva prvkem $A^{-1}$ . Co mi zůstane napravo mě moc netrápí, ale hlavní je, že nalevo se objeví vedle sebe $A^{-1}A$ , což nahradím identitou. Podobně postupuji dál, násobím vždy tak, aby se část levé strany dala nahradit identitou.

Pokud víš, že skládání není komutativní, tak mi není jasné, jak ses dostala k výsledku $X=C^{-1}$ .

Orbuth · 22. 05. 2011 21:36

Nevím mno nějak jsem to z toho odvodila to je jedno je to blbost :-)
Takže pokud jsem tě dobře pochopila tak ted bych třeba mohla násobit z prava B a vznikne mi $B^{-1}.B$ což nahradím identitou potom můžu násobit z leva $A^{-1}.A$ a z prava B násobit $B^{-1}$ a tím si osamostatním X a co ted z tou pravou stranou?

Pavel Brožek · 22. 05. 2011 21:48

↑ Orbuth:

Buď jsi mě nepochopila, nebo jsi to úplně pomotala :-).

Když budeš rovnici

$A.B^{-1}.X.A^{-1}.B=C^{-1}$

násobit zprava B, dostaneš

$A.B^{-1}.X.A^{-1}.B.B=C^{-1}.B$ ,

to znamená, že tam $B^{-1}.B$ nikde nevznikne.

Orbuth · 22. 05. 2011 22:01

Mno asik jsem to pomotala celý do sebe už mi to nějak nemyslí celej týden se učím na zkoušku z algebry a začíná se mi to celý plantat dohromady. :-) A teda jestli jsem to ted pochopila tak zprava znamená násobit pravou stranu u X a zleva to znamená násobit levou stranu u X?

Pavel Brožek

↑ Orbuth:

Aha, tak už tuším, kde je problém. :-)

Násobit zprava znamená vynásobit vše, co je na obou stranách rovnice, zprava. Bez ohledu na to, kde je X. Když mám rovnici

$\ldots=\ldots$

a vynásobím jí zprava nějakým T, dostanu

$\ldots T=\ldots T$ .

Kdybych ji násobil T zleva, tak dostanu

$T\ldots=T\ldots$ .

Orbuth · 22. 05. 2011 22:26

Mno přesně v tomhle mno :-)
Snažila jsem se to nějak dát dohromady a vyšla mi z toho takováto rovnice
$A^{-1}.A.B^{-1}.B.X.A^{-1}.A.B.B^{-1}=A^{-1}.B.C^{-1}.A.B^{-1}$
Je to možný?

Pavel Brožek · 22. 05. 2011 22:39

↑ Orbuth:

Je možné, že ti tak vyšla, ale správně to není. Tak postupně. Mám rovnici

$(A.B^{-1}.X.A^{-1}.B)=(C^{-1})$

Vynásobím ji zleva $A^{-1}$ :

$A^{-1}(A.B^{-1}.X.A^{-1}.B)=A^{-1}(C^{-1})$

Upravím levou stranu (využiju $A^{-1}A=1$ ) a dostanu

$(B^{-1}.X.A^{-1}.B)=(A^{-1}C^{-1})$ .

Teď se budu chtít zbavit toho B před rovnítkem. Toho se nejlépe zbavím tak, že rovnici vynásobím zprava $B^{-1}$ , protože pak dostanu

$(B^{-1}.X.A^{-1}.B)B^{-1}=(A^{-1}C^{-1})B^{-1}$

a po úpravě

$(B^{-1}.X.A^{-1})=(A^{-1}C^{-1}B^{-1})$

Už je to jasné?

Schválně jsem psal zbytečné závorky (zbytečné, protože skládání permutací je asociativní), aby bylo jasné, že vždy násobím celou stranu.