Matematické Fórum

wilzef · 05. 06. 2011 10:11 — Editoval wilzef (05. 06. 2011 10:27)

Ahoj,

mám spočítat všechny kořeny $x \in <0,2\pi)$ pro která platí $2 \sin (\frac{x}{2})= -\sqrt2\ sinx$ .

místo $\sin (\frac{x}{2})$ jsem použila vzorec
po konečných úpravách dostávám $cosx(cosx-1)=0$

a odtud vychází, že kořeny jsou tři: $0$ , $\frac{\pi}{2}$ a $\frac{3\pi}{2}$ .

Jenže ve výsledcích je jsou jen výsledky dva. Což nechápu. Myslím, že je problém asi v té absolutní hodnotě v tom v vzorci ne? Nebo ví někdo v čem dělám chybu?

Díky za odpovědi :)

hradecek · 05. 06. 2011 11:04

↑ wilzef:
Určite si robila neekvivalentnú úpravu - umocňovanie...skúška správnosti nutná...

Phate · 05. 06. 2011 11:11 — Editoval Phate (05. 06. 2011 19:55)

↑ wilzef:
Zkusil jsem to trochu jinou cestou, tak snad nebudu ukamenovany za cele reseni:
$2 \sin \left( \frac{x}{2} \right)= -\sqrt2 \sin x \\ 2 \sin \left( \frac{x}{2} \right)= -2\sqrt2 \sin \left( \frac{x}2 \right) \cos \left( \frac{x}2 \right)$
Podelis 2, prevedes na jednu stranu:
$\sin \left( \frac{x}{2} \right) \cdot \left( 1+ \sqrt2 \cos \left( \frac{x}2 \right)\right)=0$
Prvni rovnice:
$\sin \left( \frac{x}{2} \right)=0 \Rightarrow \frac{x}2 = 0 + 2k\pi \vee \frac{x}2 = \pi + 2k\pi \Rightarrow x=0 +4k \pi \vee x= 2\pi + 4k \pi$
Zde nam vychazi pouze jeden koren, protoze mame interval $x \in <0,2\pi)$ , ktery je zprava otevreny.
Druha moznost,
$1+ \sqrt2 \cos \left( \frac{x}2 \right)=0 \nl \cos \left( \frac{x}2 \right)=-\frac{1}{\sqrt2} \Rightarrow \frac{x}2 = \frac{3 \pi}{4} + 2k\pi \vee \frac{x}2 = \frac{5 \pi}{4} +2k\pi \Rightarrow x= \frac{3 \pi}{2} +4k\pi \vee x=\frac{5 \pi}{2}+4k \pi$
Vidime, ze koren $\frac{5 \pi}{2}$ se nam to zadaneho intervalu nevejde, takze reseni jsou poze dve a to $x=0 a x=\frac{3 \pi}{2}$ . Zkusil jsem i zpatky dosadit do zadani a vyslo mi to. Vysledkama jsme se shodli, ale nekde jsi mela dusledkovou upravu, pravdepodobne v te abs. hodnote, takze to chtelo zkousku, jestli nektery koren se jen netvari jako koren. Jinak chvalim za TeX :) +

wilzef · 05. 06. 2011 12:32

↑ hradecek:

Jo, jo .. bylo to tak :) Díky za radu :)

↑ Phate:

Taky ti děkuji :) $\frac{5\pi}{2}$ je v podstatě $\frac{\pi}{2}$ ne? A potom nechápu jak jsi tím svým postupem vypočítal z této rovnice $\sin \left( \frac{x}{2} \right)=0$ její kořeny?

Phate · 05. 06. 2011 12:39 — Editoval Phate (05. 06. 2011 12:41)

Taky ti děkuji :) $\frac{5\pi}{2}$ je v podstatě $\frac{\pi}{2}$ ne?

To bohuzel neni, protoze zde rozhodne nejsme na jednotkove kruznici a nemuzeme jen tak prepocitavat, musime se take podivat na periodu tohoto vysledku a ta je $4k\pi$

potom nechápu jak jsi tím svým postupem vypočítal z této rovnice $\sin \left( \frac{x}{2} \right)=0$ její kořeny?

Tak to vezmeme pomalu, udelame substituci $y=\frac{x}2$
$\sin{y}=0$
Z jednotkove kruznice vyjadrime:
$y=0+k\pi$ . Jestli te zmatl muj zapis, tak je to to stejne jako $y=0+2k\pi \vee y=\pi + 2k\pi$ , znak $\vee$ znamena matematicke "nebo", nevim, co jsem tam mel jienho pouzit
Vratime se ze substituce:
$\frac{x}{2}=0+k\pi \Rightarrow x=0+2k\pi$
Celou rovnici normalne vynasobis dvema. A mas vysledek.

wilzef · 05. 06. 2011 12:46

↑ Phate:

Ajoo ... substituce argumentu :)

Jinak, mně v podstatě vyšly stejné výsledky jako tobě ... po zkoušce mi vyšlo, že $\frac{\pi}{2}$ tam nepatří. Takže kořeny jsou $0$ a $\frac{3\pi}{2}$ . Jinými slovy se ptám, jestli jsem postupovala správně. Protože výsledek máme stejný, lišíme se pouze u těch polovin pí. Ne?

Phate · 05. 06. 2011 12:49

↑ wilzef:
Ano, postupovala jsi spravne, jedinz problem byl asi ↑ hradecek:, jak pise hradecek

wilzef · 05. 06. 2011 13:18

↑ Phate:

OK. Tak díky ti moc :)

Matematické Fórum

#1 05. 06. 2011 10:11 — Editoval wilzef (05. 06. 2011 10:27)

Goniometrická rovnice

#2 05. 06. 2011 10:25 Příspěvek uživatele janca361 byl skryt uživatelem janca361. Důvod: Dopnlěno

#3 05. 06. 2011 11:04

Re: Goniometrická rovnice

#4 05. 06. 2011 11:11 — Editoval Phate (05. 06. 2011 19:55)

Re: Goniometrická rovnice

#5 05. 06. 2011 12:32

Re: Goniometrická rovnice

#6 05. 06. 2011 12:39 — Editoval Phate (05. 06. 2011 12:41)

Re: Goniometrická rovnice

#7 05. 06. 2011 12:46

Re: Goniometrická rovnice

#8 05. 06. 2011 12:49

Re: Goniometrická rovnice

#9 05. 06. 2011 13:18

Re: Goniometrická rovnice

Zápatí