Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 07. 06. 2011 13:23 — Editoval elijah (07. 06. 2011 13:23)

elijah
Příspěvky: 151
 

Za jak dlouho se schladí pití ?

Dal jsem pití(1,5 litrová flaška) o teplotě 22°C do ledničky ve které je teplota cca 7°C za jak dlouho se mi pití schladí na tuto teplotu ?
díky.l

Offline

  • (téma jako vyřešené označil(a) elijah)

#2 07. 06. 2011 14:40

janca361
.
Příspěvky: 3284
 

Re: Za jak dlouho se schladí pití ?

Offline

 

#3 07. 06. 2011 14:56

elijah
Příspěvky: 151
 

Re: Za jak dlouho se schladí pití ?

z kalorimetricke rovnice nezjistím čas ...

Offline

 

#4 07. 06. 2011 15:02

Taran
Zelenáč
Příspěvky: 15
Reputace:   
 

Re: Za jak dlouho se schladí pití ?

Napadá mě čas vyčíst ze vzorce pro výkon, který bude přímo úměrný změně tepla a nepřímo úměrný času. K tomu by jsi ale potřeboval znát výkon své lednice.

Každopádně, to pití už musíš mít vychlazený, ne? :))

Offline

 

#5 07. 06. 2011 15:16

janca361
.
Příspěvky: 3284
 

Re: Za jak dlouho se schladí pití ?

↑ elijah:
To mi nedošlo. Omlouvám se.

Offline

 

#6 07. 06. 2011 15:41

elijah
Příspěvky: 151
 

Re: Za jak dlouho se schladí pití ?

↑ Taran:
No tak to neni spatny napad skusim to, jinak piti uz je vychlazeno ale pro priste :D

Offline

 

#7 07. 06. 2011 20:43

elijah
Příspěvky: 151
 

Re: Za jak dlouho se schladí pití ?

Jinak pokud by napadlo ještě někoho nějaký jiný postup krom uzivatele Taran, tak nechť napíše , třeba by mě zajímal nazor uživatele: zdenek1  který by mohl alespon napsat svuj nazor jak by to řešil

Offline

 

#8 07. 06. 2011 23:04

FliegenderZirkus
Příspěvky: 544
Škola: RWTH Aachen
Reputace:   25 
 

Re: Za jak dlouho se schladí pití ?

Zkusím jen nastínit, proč toto zadání není dostatečné. Problematika vedení tepla závisí na mnoha faktorech - tloušťce stěny lahve, tepelné vodivosti použitého plastu, typu obtékání tělesa vzduchem atd. Pokud bychom použili nějaký výpočtový model (láhev je válec atd.) a měli tyto podmínky zadané, tak by řešení možné nejspíš bylo. Ale zkoušku z termomechaniky mám až za týden :) takže bez záruky.

Offline

 

#9 08. 06. 2011 12:33

elijah
Příspěvky: 151
 

Re: Za jak dlouho se schladí pití ?

↑ FliegenderZirkus:
No dobře, ale přece musí existovat nějaky vzorec nebo něco z čeho bych mohl výcházet abych to mohl vypočítat ne ?

Offline

 

#10 08. 06. 2011 14:46 — Editoval FliegenderZirkus (08. 06. 2011 14:50)

FliegenderZirkus
Příspěvky: 544
Škola: RWTH Aachen
Reputace:   25 
 

Re: Za jak dlouho se schladí pití ?

↑ elijah:

Řešení samozřejmě možné je, to jsem přece napsal. Zde bychom asi pro rozhraní vzduch v chladničce - plast použili Newtonův ochlazovací zákon

$\operatorname{d} \dot Q=\alpha (T_w-T_o)dA$,

kde $T_w$ je teplota stěny, $T_o$ je teplota vzduchu a $\alpha$ součinitel přestupu tepla.

Pro rozhraní plast - voda v lahvi bychom použili stejný zákon, jen by teplo přecházelo z kapaliny do stěny. Je ovšem potřeba si uvědomit, že toto je empirický vztah, který v oné záhadné konstantě $\alpha$ ukrývá všechny problémy, o kterých jsem psal výše (proudění atd.). Zjistit proto její přesnou hodnotu není možné, situaci můžeme trochu zjednodušit pomocí tzv. teorie podobnosti, ale stejně budeme muset strávit mnoho času měřením popř. odhadováním na základě nějakých tabulek. Nejde tedy o nějaký vzorec v tom smyslu, jak jsi to asi myslel. Použití takovéhoto vzorce obnáší celou řadu komplikací, tak třeba si nejsem jistý, jak bychom se vypořádali s tím, že teploty se mění atd. Tak to zkrátka chodí, analyticky řešit umíme jen některé jednoduché případy.

...přece musí existovat nějaky vzorec...

Vzorec, do kterého by se dosadil tvar lahve, proudění ochlazované vody a chladícího vzduchu, jejich viskozity atd. a kouzelně vypadl čas v sekundách bohužel neexistuje.


EDIT: Zkus hledat „volná (přirozená) konvekce“

Offline

 

#11 08. 06. 2011 15:21 — Editoval rughar (08. 06. 2011 15:31)

rughar
Příspěvky: 424
Škola: MFF UK
Pozice: Vědecký pracovník
Reputace:   27 
 

Re: Za jak dlouho se schladí pití ?

Jen bych k tomu ještě dodal, že (podle kalorimetriké rovnice) bude teplota úměrná tepelné energii Q. Tedy čím více se bude rozdíl Tw a T0 blížit k nule (teplota flašky se blíží k teplotě lednice), tím pomaleji se bude lahev ochlazovat. Docela dobře platí, že pokud za jistý čas se rozdíl teplot lednice-lahev sníží na polovinu, tak za stejný čas se teplota opět sníží o další polovinu. Takto se rozdíl teplot po konstantních časových úsecích vždy dvakrát zmenší a tedy nikdy nebude nulový. Platí totiž

$T = T_0 + (T_1 - T_0) e^{-\frac{S\beta t}{m c_v}}$

T1 je původní teplota pití (v čase t = 0), T0 je teplota v lednici. To je patrně vztah, který přesně hledáš. Konstanta beta (spočitatelná z konstanty alfa, o které píše FliegenderZirkus). S je povrch lahve a c_v měrná tepelná kapacita toho, co ochlazuješ. m je hmotnost pití.

Vztah má však dvě úskalí

1) Problém toho, že řešení rovnice pro T0 = T1 je takové, že by muselo být t nekonečně veliké. Problém, který jsem nastínil na začátku. Chceme-li nějak prakticky vyjádřit ochlazení vody na teplotu rovnice, musíme si zvolit něco jako subjektivní terplotní rozdíl mezi pitím a ovzduším v lednici, který budeme považovat prakicky za totžný. Řekněme, že pokud se bude teplota pití a lednice lišit o jeden stupeň, bude pití "dostatečně vychlazené". Tento subjektivní rozdíl jednoho stupně celsia si označím jako velké delta, pak platí

$\frac{m c_v}{S\beta}\ln\left(\frac{T_1-T_0}{\Delta}\right) = t$

Jak vidíme, pokud si zvolíme Delta jako 0, nastává problém.

2) Problém konstanty beta. Lze říci, že tato konstanta bude záviset na tloušťce a materiálu lahve. Jiné věci zde hrát roli nebudou. Každá lahev si univerzálně nese svoji konstantu. Je těžké říct, kolik to je. To se musí zkusit.

Co z toho tedy plyne?

Poslední vztah obsahuje dvě problematická čísla. Delta a beta. První z nich si volíme na zákaldě toho, že ideální matematický model není úplně v souladu s tím, co bychom rádi intuitivně očekávali. Má smysl Deltu zavádět pokud možno více než na hodnotu jednoho stupně. pokud bychom chtěli dosahovat hodně blízkých hodnot k teplotě lednice, bude vztah značně nepřesný. Pokud je naše otázka taková, že tam necháme pití celý den, tak teplota se dost dobře vyrovná teplotě lednice. Pokud ale bazírujeme nad tím, že bychm měli rádi chladé pití, má smysl spíš uvažovat, že bycho rádi rozdíl teploty lahev-lednice jen redukovali, řekněme na polovinu. Když chceš mít studenější pití, zvyš výkon ledničky :-) Lépe když lednička pracuje o 10 procent více, ale stokrát kratší dobu, no ne? Druhý problém je v konstantě beta. V tomto modelu je nezávislá na množství pití a jeho typu. Takže když budeš vědět jak se ti chaldí půl litru mléka, tak si z toho vyjádříš betu a výše uvedný vztah ti budle platit i pro třičtvrtě litru oleje. S jinýma S,cv,m.

Slovo z praxe : Když to chceš mít studený a je to kapalina, co se fyzikálně alespoň trochu podobá vodě (vše co v kuchyni teče a není to med), dej to na 15 minut do mražáku a je to "akorát".

Jen ještě po editaci uvádím, že zde používám jistou "idealizaci". Tedy, že konstanta beta je skutečně konstantou pro lahev s různým obahem pití. Ono totiž lahev tekutina není zcela obepnutá rovnoměrně plastem z lahve, ale má i hladinu. A poměr obsahů hladina/povrch zbytku je závislý na množtví tekutiny v lahvi -> tímto zpsůsobem tedy mže ovlivnit množství kapapaliny konstantu beta. Na betu má tedy jistým způsobem vliv i objem tekutiny (prakticky však minimální, pokud neporováváme případy, kdy máme plnou dvoulitrovou pet lahev s případem, kdy tam je poslední jedno deci. Hustota, tepelná kapacita a povrch kapaliny však již betu dále neovlivňují.

Uvažování viskozity v příkladě už je trochu mimo mísu. Dá se dost dobře myslím předpokládat, že ochlazování vody v lednici je natolik pomalé, že rychlosti změny teplot nezpůsobí značné změny proudů vzduchu kolem lahve. Žádný podezřelý průvan v ledničce = žádný projev viskozity. Leda bys měl "studenovzdušnou" lednici. Pochybuju že to existuje. Vím jen o horkovzdušných troubách :-)


1 + 1 = 1 + 1
... a nebo taky ne

Offline

 

#12 08. 06. 2011 18:55

elijah
Příspěvky: 151
 

Re: Za jak dlouho se schladí pití ?

Děkuji moc všem za rady a objasnění problematiky,  z mého laického pohledu se to nezdálo jako nějak složitý problém avšak vidím že zdaní klame :-)

Offline

 

#13 15. 08. 2022 15:12

ferdas
Zelenáč
Příspěvky: 1
Škola: MFF UK
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: Za jak dlouho se schladí pití ?

Jasně, nic není jednoduché :), ale lze to rozumně zjednodušit, vezmeme si praktický případ:

Zapomněl jsem si vychladit v lednici pivo. Chtěl bych ho dát do mrazáku o teplotě [mathjax]t_{m}[/mathjax]=-18°C, pivo ([mathjax]V_{p}[/mathjax]=1/2 litru) včetně plechovky má pokojovou teplotu řekněme [mathjax]t_{p}[/mathjax]=22°C. Jak dlouho ho v mrazáku musím mít, aby vystydlo na teplotu (okolo) [mathjax]t_{i}[/mathjax]=7°C? [Poznámka: Hlavně nechci, aby plechovka praskla ani aby z piva byl (ani částečně) led!]
(Komu se nelíbí pivo, může dát plechovku třeba jablečného moštu nebo vody - taky jsem je viděl prodávat.)

Zkusme si to zjednodušit: Tepelnou kapacitu plechovky vzhledem k vodě, kterou z fyzikálního hlediska pivo (jablečný mošt) je, zanedbáme, jako by tam nebyla (nízká tepelná kapacita a taky malé množství hliníku). Bereme přenos tepla/chladu vzduchem a že přenos tepla/chladu je lineární. Pokud je třeba nějaké další zjednodušující předpoklady, sem s nimi.

Praktický poznatek: Zkusil jsem tam plechovku nechat 1/2 hodiny (jsem spíš experimentální fyzik a kalorimetrická rovnice není mým oborem), plechovka byla studená (jak jinak :)), ale pivo ještě teplé, i když se dalo pít. Příště budu volit 2 násobný čas, jestli to ale tak dlouho vydržím :D.

Offline

 

#14 16. 08. 2022 11:26

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 5044
Reputace:   126 
 

Re: Za jak dlouho se schladí pití ?

I za zjednodušených podmínek (které lze analyticky řešit) - jako je případ koule z pevného homogenního materiálu, a konstantní teplota na jejím povrchu to je celkem složitý problém, vyžadující nasazení rovnice vedení tepla (což je parciální diferenciální rovnice).

U koule obsahující kapalinu se to rozumě nedá řešit vůbec, protože v kapalině dochází ke konvektivnímu proudění, a to prostě počítat rozumě nejde.

Jednoduše by to šlo spočítat jen za předpokladu, že by byla láhev z izolačního materiálu, takže bychom mohli uvažovat, že teplota kapaliny uvnitř je zhruba konstantní. Potom je to jednoduchá lineární dif. rovnice, a výsledek je, že

[mathjax]\Delta T = \Delta T_0 e^{-\frac{t}{\tau}}[/mathjax]

kde časová konstanta tau závisí na součinu tepelné kapacitě kapaliny a tepelného odporu té izolace, tedy

[mathjax]\tau = C \cdot R[/mathjax]

úplně stejně, jako se vybíjí kondenzátor C přes odpor R.


Jenže je to celé k ničemu, protože když tě zajímá jak věc co možná nejrychleji ochladit, tak je asi blbost to balit do izolantu jen proto, abychom to dokázali spočítat.

Offline

 

#15 16. 08. 2022 11:30

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 5044
Reputace:   126 
 

Re: Za jak dlouho se schladí pití ?

Velmi přibližně můžeme zkusit najít takovou hodnotu izolačního odporu, aby výše uvedený vztah zhruba popisoval chladnutí piva v lednici. Ale musíme si nejdříve změřit závislost teploty na čase a potom najít tu časovou konstantu - mohli bychom to nazvat třeba "ekvivalentní časová konstanta". Ale nikde není napsáno, že když použijeme jinou láhev nebo bude mít pivo jinou teplotu, že bude vzorec stále fungovat.

Offline

 

#16 16. 08. 2022 11:31

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 5044
Reputace:   126 
 

Re: Za jak dlouho se schladí pití ?

Taky tu někdo zmínil, že ustáleného stavu to dosáhne v principu až v nekonečnu. Ale po uplynutí doby [mathjax]3 \cdot \tau[/mathjax] se zpravidla považuje proces už za ustálený, má za sebou už 99%...

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson