Matematické Fórum

Lichty · 09. 06. 2011 14:18

Dobrý den,
měl bych ještě jednu otázku týkající se tečny ke grafu funkce zadané implicitně.

Rovnici tečny umím počítat pouze s (x), čili pouhou derivací výrazu a dosazením bodu - neumím však vypočítat rovnici tečny s pomocí parciálních derivací a nemůžu nikde najít žádný návod, který by mě nakopnul, leč zkoušku už mám zítra :)

Jde mi o případ podobný tomuto.
Děkuji, uvítám jakékoliv doporučení jak postupovat!

Rumburak

Za předpoladu spojitých parc. derivací té fce F(x,y) v okolí onoho bodu (a,b) (pakliže i ostatní předpoklady věty o impl. f. jsou splněny)
má též impl. f. y = y(x) spojitou derivaci, která se dá vyjádřit jistým vzorcem. Znáš ten vzorec ?

zdenek1 · 09. 06. 2011 14:51

A pokud ho neznáš, zde ho najdeš

Lichty · 09. 06. 2011 21:34

Podmínky zde platí, ale nevím co s parciálními derivacemi.
Vypočítal jsem p.d. pro x i pro y, jen nevím, jak je mám dostat do tečny či jak s nimi pracovat. Díky

zdenek1 · 09. 06. 2011 22:50

↑ Lichty:
Podle odkazu je
$f^\prime=-\frac{3x^2-3y}{3y^2-3x}=-\frac{x^2-y}{y^2-x}$

rovnice tečny $t:y-y_0=f^\prime(x_0;y_0)(x-x_0)$ , kde bod dotyku je $T[x_0;y_0]$
dosadíš
$y-1=-\frac{0^2-1}{1^2-0}(x-0)$

dopočítáš a vypadá to nějak takto

Alivendes · 09. 06. 2011 22:51

↑ zdenek1:
Zajímavá funkce :o)

Rumburak · 10. 06. 2011 09:55

↑ Lichty:
Řešení úlohy je v použití onoho vzorce, který Ti patrně není znám. Odvodíme si ho.

Pro implicitní funkci $y=y(x)$ je na jistém otevřeném intervalu I splněna rovnice $0 = F(x,y(x))$ . Tu zderivujeme podle x
a pomocí pravidel o derivování složených funkcí více proměnných tak dostaneme

$0 = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}F(x,y(x)) = \frac {\partial F}{\partial x}(x,y(x)) \,+\, \frac {\partial F}{\partial y}(x,y(x))\cdot y'(x)$ ,

odtud vyjádříme

$y'(x)=-\frac{\frac {\partial F}{\partial x}(x,y(x)) }{\frac {\partial F}{\partial y}(x,y(x))}$ .

Sem pak dosadíme $x=a,\, y(x) = b$ , kde $T=[a,b]$ je bod, jímž graf fce $y=y(x)$ prochází, a máme $y'(a)$ .

zdenek1 · 10. 06. 2011 10:35

↑ Rumburak:
Měl bych dotaz: To nevadí, že $F$ vlastně vůbec není funkce?

Lichty · 10. 06. 2011 11:43

Zdenku, děkuji, takhle je mi to úplně jasné :) Rovnici tečny umím, parciálně derivovat taky, jen jsem to neuměl dát dohromady :) Díky!

Rumburak · 10. 06. 2011 11:54

↑ zdenek1:
Záleží na tom, co je to F . Vycházel jsem z tazatelova odkazu a příkladu v něm, kde $F(x,y):= x^3 + y^3 - 3xy - 1$
(což funkce je), zatímco f je implicitní funkce definiovaná rovnici F(x,f(x)) = 0 tak aby na jejím grafu ležel bod T .
Aspoň takto jsem pochopil příklad z toho odkazu.

zdenek1 · 10. 06. 2011 12:30

↑ Rumburak:
Mě šlo o to, že když jsem nechal počítač vykreslit graf pro $x^3 + y^3 - 3xy - 1=0$ , dostal jsem tu červenou křivku z #6. A ta křivka není graf funkce tak, jak jsem se kdysi učil - pro jedno $x$ maximálne jedno $y$ . Např. pro $x=1$ dostávám tři hodnoty $y$ .

Rumburak · 10. 06. 2011 12:47

↑ zdenek1:
Jasně, už chápu co máš na mysli. Rovnicí F(x,y) = 0 je určena jakási množina M , která je částí roviny. Věta o implicitní funkci říká toto:
Jestliže bod T[a,b] leží v množině M a jsou-li ve vztahu k němu splněny i další předpoklady věty, pak lze okolo bodu T opsat kruh K takový,
že množina K průnik M je grafem funkce y = f(x) definované na jistém intervalu J okolo bodu a. Věta neříká, jak velký je ten kruh nebo
ten interval. Náš příklad z té věty nijak nevybočuje .

zdenek1 · 10. 06. 2011 13:03

↑ Rumburak:
Jasný. Díky.

Matematické Fórum

#1 09. 06. 2011 14:18

Implicitně zadaná funkce

#2 09. 06. 2011 14:39 — Editoval Rumburak (09. 06. 2011 14:40)

Re: Implicitně zadaná funkce

#3 09. 06. 2011 14:51

Re: Implicitně zadaná funkce

#4 09. 06. 2011 18:25 Příspěvek uživatele Lichty byl skryt uživatelem Lichty.

#5 09. 06. 2011 21:34

Re: Implicitně zadaná funkce

#6 09. 06. 2011 22:50

Re: Implicitně zadaná funkce

#7 09. 06. 2011 22:51

Re: Implicitně zadaná funkce

#8 10. 06. 2011 09:55

Re: Implicitně zadaná funkce

#9 10. 06. 2011 10:35

Re: Implicitně zadaná funkce

#10 10. 06. 2011 11:43

Re: Implicitně zadaná funkce

#11 10. 06. 2011 11:54

Re: Implicitně zadaná funkce

#12 10. 06. 2011 12:30

Re: Implicitně zadaná funkce

#13 10. 06. 2011 12:47

Re: Implicitně zadaná funkce

#14 10. 06. 2011 13:03

Re: Implicitně zadaná funkce

Zápatí