Matematické Fórum

eibe · 19. 06. 2011 20:31

Mohl by mi prosím někdo poradit postup výpočtu tohoto integrálu?

Udělal jsem substituci za 2x+3 a dál nevím jak:(

jelena · 19. 06. 2011 21:14

Zdravím,

který nástroj z nabídky jsi zkoušel?

Na úvod vytknout 9 pod odmocninou a odmocnit vytknutou 9, substituce $\frac{2x+3}{3}=t$ . V pořádku? Děkuji.

Alivendes

Zdravím, nikdo se nehlásí, nic mě nenapadá, tak jsem použil eulerovu substituci:
$4.\int\frac{1}{\sqrt{-9+4x^2+12x+9}}dx=4.\int\frac{1}{\sqrt{4x^2+12x}}dx=2.\int\frac{1}{\sqrt{x^2+3x}}dx$
$S:\sqrt{x^2+3x}=t-x$
$x=\frac{t^2}{(2t+3)}$
$dx=\frac{2t^2+6t}{(2t+3)^2}dt$

Dosadime do integralu:
$2.\int\frac{1}{\sqrt{x^2+3x}}dx=2.\int \frac{1}{\sqrt{[\frac{t^2}{2t+3}]^2+3.\frac{t^2}{2t+3}}}.\frac{2t^2+6t}{(2t+3)^2}dt$
$=2.\int\frac{1}{\sqrt{\frac{t^4}{(2t+3)^2}+\frac{3t^2}{(2t+3)}}}.\frac{2t^2+6t}{(2t+3)^2}dt$
$=2.\int\frac{1}{\sqrt{\frac{t^4+3t^2(2t+3)}{(2t+3)^2}}}.\frac{2t^2+6t}{(2t+3)^2}dt$
$=2.\int\frac{1}{\sqrt{\frac{t^4+6t^3+9t^2}{(2t+3)^2}}}.\frac{2t^2+6t}{(2t+3)^2}dt$
$=2.\int\frac{\frac{1}{1}}{\sqrt{\frac{t^2(t^2+6t+9)}{(2t+3)^2}}}.\frac{2t^2+6t}{(2t+3)^2}dt$
$=2.\int\frac{\frac{1}{1}}{\sqrt{\frac{t^2(t+3)^2}{(2t+3)^2}}}.\frac{2t^2+6t}{(2t+3)^2}dt$
$=2.\int\frac{\frac{1}{1}}{\frac{t(t+3)}{(2t+3)}}.\frac{2t(t+3)}{(2t+3)^2}dt$
$=2.\int\frac{(2t+3)}{t(t+3)}.\frac{2t(t+3)}{(2t+3)^2}dt$
$=2.\int\frac{2}{2t+3}dt=4.\int\frac{1}{2t+3}dt$
$S:2t+3=u$
$2dt=du$
$dt=\frac{du}{2}$
$=4.\int\frac{1}{u}.\frac{du}{2}=2lnu+C=2ln(2t+3)+C$

Vracíme se k původní substituci: $S:\sqrt{x^2+3x}=t-x$
$t=\sqrt{x^2+3x}+x$
Konečné řešení:
$2ln|2\sqrt{x^2+3x}+2x+3|+C$

Alivendes · 19. 06. 2011 21:31

↑ jelena:
Byla jsi rychlejší, bohužel jsem už započal tvořit, já vtom tyhle kouzla prostě nevidím :(

jelena · 20. 06. 2011 00:07

↑ Alivendes:

:-) no toto. Kouzla neznám - držím se standardů.

1) můžeš napsat oznámení, že se chystáš téma vyřešit.

2) třeba to kolegovi pomůže více seriózně se věnovat jeho vlastní sbírce online nástrojů

Alivendes · 20. 06. 2011 15:25

↑ jelena:
:-) nevypadalo to na to, že někdo se hodlá tím zabývat :) ...ale hlavně děkuji, jak se dá přijit nějak rychle na to, že se má použít taková substituce ?

Matematické Fórum

#1 19. 06. 2011 20:31

výpočet integrálu

#2 19. 06. 2011 21:14

Re: výpočet integrálu

#3 19. 06. 2011 21:30 — Editoval Alivendes (19. 06. 2011 21:30)

Re: výpočet integrálu

#4 19. 06. 2011 21:31

Re: výpočet integrálu

#5 20. 06. 2011 00:07

Re: výpočet integrálu

#6 20. 06. 2011 15:25

Re: výpočet integrálu

Zápatí