Matematické Fórum

Choosen

Dobrý den.
Zadání příkladu je následující: Zjistěte, zda-li zobrazení $f:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^4$ dáno předpisem
$f(x,y,z)=(x+y-z,x+z,y-2z,x+2y-3z)$ je homomorfismus či nikoli. V kladném případě určete jádro, obraz a typ homomorfismu.

Řešení.
O homomorfismus jde, protože toto zobrazení splňuje podmínky $f(u+v)=f(u)+f(v)$ a $f(c{.}u)=c{.}f(u)$ .
Dále jsem si vypočítal jádro a obraz:
$\text{Ker}f=(-1,2,1)\,,$
$\text{Im}f=<(1,1,0,1),(0,-1,1,1)>\,.$
Určení typu homomorfismu:
monomorfismus - na nulový vektor se zobrazí i jiný než nulový vektor, takže homomorfismus $f$ není monomorfismus
epimorfismus - jelikož (v tomto případě) $\text{Im}f\neq\mathbb{R}^4$ , pak homomorfismus $f$ není epimorfismus
izomorfismus - neplatí mono & epi tudíž není izomorfismus
endomorfismus - $f$ zobrazuje $\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^4$ a jelikož $\mathbb{R}^3\neq\mathbb{R}^4$ , pak není endomorfismus
automorfismus - tento homomorfismus není izo & endo tutíž není automorfismus

Nyní problém. Může být homomorfismus, který není ani jednoho typu? Buďto ano, a nebo jsem špatně počítal.

check_drummer · 25. 06. 2011 12:23

Choosen napsal(a):
Dále jsem si vypočítal jádro a obraz:
$\text{Ker}f=(-1,2,1)\,,$
$\text{Im}f=<(1,1,0,1),(0,-1,1,1)>\,.$

Nyní problém. Může být homomorfismus, který není ani jednoho typu? Buďto ano, a nebo jsem špatně počítal.

Několik věcí:
Chceš-li hovořit o homomorfismu na nějaké struktuře, musíš zmínit operace, které na této struktuře uvažuješ - tedy předpokládám, že je myšleno $R^3,R^4$ s operacemi sčítání a násobení reálným číslem (formálně - každé reálné číslo určuje operaci s jedním argumentem).

Nepočítal jsem jádro - ale myslím, že s každým vektorem v by mělo obsahovat i jeho libovolný c-násobek, tedy dle mého my mělo jádro být nejméně c.(-1,2,1).

Co znamená zápis $<(1,1,0,1),(0,-1,1,1)>$ ? Je to lineární obal uvedených vektorů?

Proč by nemohl existovat homomorfismus takový, že není ani jednoho typu? Myslím, že může. To bychom museli prostor všech morfismů rozdělit na nějaké třídy a každou nazvat nějak speciálně např. "neprostomorfismus", apod.

Matematické Fórum

#1 25. 06. 2011 10:25 — Editoval Choosen (25. 06. 2011 10:27)

Určení typu homomorfismu, kontrola správnosti výsledku

#2 25. 06. 2011 12:23

Re: Určení typu homomorfismu, kontrola správnosti výsledku

Choosen napsal(a):

Zápatí