Matematické Fórum

Sulfan · 03. 07. 2011 12:19

Ahoj,
chtěl bych poprosit o nápovědu, jak pokračovat v jedné, pro mě zapeklitější, limitě, která vypadá následovně:

$\lim_{n->\infty}\sqrt{n}\cdot(\sqrt{n+1}+2\sqrt{n}-3\sqrt{n+2})$

Začal jsem tak, že jsem výraz roznásobil $\sqrt{n}$ a zároveň z prvních dvou členů vytkl $n$ :

$\lim_{n->\infty}\left [ n\cdot (\sqrt{1+\frac{1}{n}}+2)-3\sqrt{n^2+2n} \right ]$

Potom jsem celý výraz v limitě rozšířil výrazem $n\cdot (\sqrt{1+\frac{1}{n}}+2)+3\sqrt{n^2+2n}$ , abych v čitateli dostal oblíbený vzorec $a^2-b^2$ :

$\lim_{n->\infty} \frac{n^2\cdot (\sqrt{1+\frac{1}{n}}+2)^2-9(n^2+2n)}{n\cdot (\sqrt{1+\frac{1}{n}}+2)+3\sqrt{n^2+2n}}$

Limitu jsem upravil dále na tvar:

$\lim_{n->\infty} \frac{n\left [ \left n\cdot (\sqrt{1+\frac{1}{n}}+2 \right )^2 -9n-18 \right ]}{n\left ( \sqrt{1+\frac{1}{n}}+2+3\sqrt{1+\frac{2}{n}} \right )}$

A po několika dalších řádcích úprav mi vyšlo (vím, že je to až sem dobře):

$\lim_{n->\infty} \frac{4n\left ( \sqrt{1+\frac{1}{n}} -1\right )-17}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}+2+3\sqrt{1+\frac{2}{n}}}$

Ale moc jsem si nepomohl, spíše jsem se dostal z bláta do louže, protože mi v čitateli vznikl opět neurčitý výraz $\infty \cdot 0$ .

Nemáte nápad, jak pokračovat?

Děkuji.

Stýv · 03. 07. 2011 12:23

↑ Sulfan: ta závorka v čitateli je zase rozdíl odmocnin, takže standardně rozšířit

Sulfan · 03. 07. 2011 12:32 — Editoval Sulfan (03. 07. 2011 12:36)

↑ Stýv: Aha, ono to bylo až tak jednoduché. Díky.

$\lim_{n->\infty}\frac{4n \cdot \frac{1+\frac{1}{n}-1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1}-17}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}+2+3\sqrt{1+\frac{2}{n}})}$

a tudíž:

$\huge \lim_{n->\infty}\frac{\frac{4}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1}-17}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}+2+3\sqrt{1+\frac{2}{n}})}=-\frac{5}{2}$

Edit: latex failed

Matematické Fórum

#1 03. 07. 2011 12:19

Limita posloupnosti s odmocninami

#2 03. 07. 2011 12:23

Re: Limita posloupnosti s odmocninami

#3 03. 07. 2011 12:32 — Editoval Sulfan (03. 07. 2011 12:36)

Re: Limita posloupnosti s odmocninami

Zápatí