Matematické Fórum

Důkaz úplnou indukcí má vždy dva kroky. Pro náš výrok

                  V(n):       a^(n+1) - b^(n+1) = (a-b)*suma od k=0 do n (a^k * b^(n-k))

bude 

1. krok:  důkaz, že V(n) platí  pro   n = 0  .

2. krok:  předpokládáme, že existuje celé číslo m takové, že výrok V(n) platí pro n = m. 
Odtud odvodíme, že výrok  V(n) platí též pro n = m+1 .

Pokud oba kroky úspěšně provedeme, bude to podle principu indukce znamenat, že výrok V(n) platí pro každé celé číslo větší nebo rovno 0 .

Ta podmínka "větší nebo rovno 0" je dána "počáteční" konstantou 0 při volbě  n = 0 v kroku 1 . Kdybychom v kroku 1 volili jinou "počáteční"
konstantu, např. n = 5,   pak by celý důkaz inukcí byl platný pro každé celé číslo větší nebo rovno 5 .

Co není jasné resp. na čem ses zasekl ?

↑ musixx:
Řekl bych, že je to mechanické. Předpokládej platnost toho co máš dokázat, napiš si totéž s výměnou n za n+1, a pak v tom stačí v té sumě posunout indexy a vyhodit jeden člen stranou. Tím tam dostaneš pravou stranu IP, a je to hotové, pak stačí jen roznásobit závorky a vše odečíst. Nevidím proč by to nemělo fungovat, myslím že to je neprůstřelný důkaz.

Edit: teď vidím že Rumburak už je online, tak doufám, že jsem ti tím nezkazil rozepsaný příspěvek.

↑ Rumburak:, ↑ musixx:
Můžu se zeptat? Není lepší postupovat tak jak jsem naznačoval já, a upravovat to jako rovnost? Pak nemusím vymýšlet ty umělé úpravy, abych to dostrkal do toho tvaru do kterého chci, a přitom dokážu to stejné, nebo ne? A proč píšeš že je to "slabší" varianta důkazu? Dokazuje tu rovnost nějak "míň" než by ji dokázal musixx?

Opravdu se jenom ptám, je mi jasné, že ani s jedním z vás se nemůžu ve znalostech měřit.

↑ LukasM:
To slůvko "slabší" jsem dal do uvozovek a bylo to míněno jen jako určitá nadsázka s ohledem na to, že v indukčním kroku V(n) --> V(n+1)
pracuji se slabším výrokem, žádný další matematický obah v tom tedy nehledej :-).

EDIT: Tedy já jsem do této formulace vědomě žádný další obsah nevkládal.

Můj postup byl výsledkem okamžitého nápadu (aniž bych měl přečtený Tvůj příspěvek) a netvrdím,  že by se nedal udělat lépe.
Jestli jsem Tvému slovnímu popisu správně rozuměl, pak z předpokladu odvozuješ

                      .

To by samozřejmě také byl správný postup a patrně i elegantnější. Vlastně tak dokazujeme cílovou rovnost opačným směrem, než jak jsem ji
dokazoval já.

↑ LukasM:
Při takovém postupu ale musíš dát pozor, abys při práci s tou výchozí rovnicí používal pouze ekvivalentní úpravy.
Tedy žádné umocňování rovnice na druhou,  žádné násobení rovnice výrazem, o němž si nejsme jisti, že je nenulový, a podobně.

EDIT. Chceme-li dokázat rovnost L = P,  pak můžeme postupovat úpravami rozdílu  L - P = ... = 0 .  Toto, myslím, by pokrylo Tvoji metodu
a přitom by to vyhovovalo i nejpřísnějším matematickým požadavkům na korektnost.

Mimochodem: z Tvých dosavadních příspěvků, na které jsem příležitostně měl možnost narazit, jsem si vytvořil dojem, že jsi matfyzák,
přinejmenším student. V každém případě je jisté, že Tě matematika baví, jinak by ses tu neangažoval. Tak s chutí do toho!
Pokud jsem někdy měl při řešení matematické úlohy nějaký "okamžitý nápad", pak byl často výsledkem praktické zkušenosti, tj. že jsem se
s nějakou podobnou fintou setkal už dříve a uvízla mi v paměti.

↑ LukasM:
Tím slovem "přinejmenším" jsem nemyslel nic pejorativního, vycházel jsem z reality, že na tomto foru příležitostně působí i několik VŠ učitelů matematiky
a snad i vědeckých pracovníků. Pokud jde o mně, nejsem ani student, ani učitel, ani vědecký pracovník. Na MFF jsem sice studoval na "profesionálního matematika",
ale osud tomu chtěl jinak a matematikou se  zabývám jen rekreačně. Živím se jako pracovník v oboru IT, ale vždy jsem tíhnul spíše ke tvořivému programování
než ke "znalostnímu inženýrství", či jak se jmenuje to odvětví, kde je potřeba vědět, co je kde nového a kam kliknout .