Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
Uvažme ostroúhlý trojúhelník ABC, kde AB je jeho nejdelší strana, a jeho kružnici opsanou. Zobrazme tuto kružnici v osové souměrnosti podle osy AB. Tato nová zobrazená kružnice protne strany trojúheníku BC, CA po řadě v bodech D, E. Středy úseček CD, CE označme X, Y. Dokažte, že body A, B, X, Y leží na jediné kružnici.
Úloha je lehká, vymyslel jsem jí dneska během češtiny pod lavicí. (-: Tak s chutí do ní.
Offline
Zdravím,
Myslím, že úloha pořád platí, kdybychom místo kružnice - obraz kružnice opsané trojúhelníku zadali libovolnou kružnici procházející a ,
Offline
↑ ruamaixanh:↑ ruamaixanh: Wow, no super, toho jsem si ani nevšiml. Ale ... já jsem objevil 2 jiná řešení. Nejdřív to složitější: Dokážu, že X, Y leží na Thaletovce nad průměrem AB, tj. úhly AXB a AYB jsou pravé. Pokud ale navíc X je středem CD a Y středem CE, pak to znamená, že trojúhelníky BCE a ACD by měly být rovnoramenné. Úhly ABC a ABD si odpovídají, stejně tak poloměr kružnice opsané trojúhelníkům ABD a ABC jsou shodné, takže podle sinové věty AD = sin(ABD) * 2r = sin(ABC) * 2r = AC, takže trojúhelník ACD je skutečně rovnoramenný. Analogicky i BCE je rovnoramenný a jsme hotovi.
Alternativní důkaz je ještě jednodušší. Pokud Y je střed CE a X je střed CD, tak XY je střední příčka v trojúhelníku CDE. Odtud ale XY a DE jsou rovnoběžky, takže úhly AED a AYX jsou shodné. Stejně tak jsou shodné i úhly BDE a BXY, takže vnitřní úhly čtyřúhelníků ABDE a ABXY jsou shodné, a protože čytřúhelníku ABDE šlo opsat kružnici, tak i čytřúhelníku ABXY půjde opsat kružnici. Jinak se to dá - jak sám říkáš - zobectit. Postačující podmínka je, aby CY / CX = CE / CD, tj. aby trojúhelníky CDE a CXY byly stejnolehlé.
Offline