Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 04. 10. 2011 16:26

Anonymystik
Příspěvky: 585
Reputace:   45 
 

Zkuste nějakou rekreační geometrii

Uvažme ostroúhlý trojúhelník ABC, kde AB je jeho nejdelší strana, a jeho kružnici opsanou. Zobrazme tuto kružnici v osové souměrnosti podle osy AB. Tato nová zobrazená kružnice protne strany trojúheníku BC, CA po řadě v bodech D, E. Středy úseček CD, CE označme X, Y. Dokažte, že body A, B, X, Y leží na jediné kružnici.
Úloha je lehká, vymyslel jsem jí dneska během češtiny pod lavicí. (-: Tak s chutí do ní.


"Do you love your math more than me?"   "Of course not, dear - I love you much more."   "Then prove it!"   "OK... Let R be the set of all lovable objects..."

Offline

 

#2 06. 10. 2011 18:37

ruamaixanh
Místo: Tachov
Příspěvky: 100
Reputace:   11 
 

Re: Zkuste nějakou rekreační geometrii

Zdravím,
Myslím, že úloha pořád platí, kdybychom místo kružnice - obraz kružnice opsané trojúhelníku $ABC$ zadali libovolnou kružnici procházející $A$ a $B$,

Offline

 

#3 06. 10. 2011 22:04 — Editoval Anonymystik (06. 10. 2011 22:09)

Anonymystik
Příspěvky: 585
Reputace:   45 
 

Re: Zkuste nějakou rekreační geometrii

↑ ruamaixanh:↑ ruamaixanh: Wow, no super, toho jsem si ani nevšiml. Ale ... já jsem objevil 2 jiná řešení. Nejdřív to složitější: Dokážu, že X, Y leží na Thaletovce nad průměrem AB, tj. úhly AXB a AYB jsou pravé. Pokud ale navíc X je středem CD a Y středem CE, pak to znamená, že trojúhelníky BCE a ACD by měly být rovnoramenné. Úhly ABC a ABD si odpovídají, stejně tak poloměr kružnice opsané trojúhelníkům  ABD a ABC jsou shodné, takže podle sinové věty AD = sin(ABD) * 2r = sin(ABC) * 2r = AC, takže trojúhelník ACD je skutečně rovnoramenný. Analogicky i BCE je rovnoramenný a jsme hotovi.
Alternativní důkaz je ještě jednodušší. Pokud Y je střed CE a X je střed CD, tak XY je střední příčka v trojúhelníku CDE. Odtud ale XY a DE jsou rovnoběžky, takže úhly AED a AYX jsou shodné. Stejně tak jsou shodné i úhly BDE a BXY, takže vnitřní úhly čtyřúhelníků ABDE a ABXY jsou shodné, a protože čytřúhelníku ABDE šlo opsat kružnici, tak i čytřúhelníku ABXY půjde opsat kružnici. Jinak se to dá - jak sám říkáš - zobectit. Postačující podmínka je, aby CY / CX = CE / CD, tj. aby trojúhelníky CDE a CXY byly stejnolehlé.


"Do you love your math more than me?"   "Of course not, dear - I love you much more."   "Then prove it!"   "OK... Let R be the set of all lovable objects..."

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson