Matematické Fórum

↑ ruamaixanh:↑ ruamaixanh: Wow, no super, toho jsem si ani nevšiml. Ale ... já jsem objevil 2 jiná řešení. Nejdřív to složitější: Dokážu, že X, Y leží na Thaletovce nad průměrem AB, tj. úhly AXB a AYB jsou pravé. Pokud ale navíc X je středem CD a Y středem CE, pak to znamená, že trojúhelníky BCE a ACD by měly být rovnoramenné. Úhly ABC a ABD si odpovídají, stejně tak poloměr kružnice opsané trojúhelníkům  ABD a ABC jsou shodné, takže podle sinové věty AD = sin(ABD) * 2r = sin(ABC) * 2r = AC, takže trojúhelník ACD je skutečně rovnoramenný. Analogicky i BCE je rovnoramenný a jsme hotovi.
Alternativní důkaz je ještě jednodušší. Pokud Y je střed CE a X je střed CD, tak XY je střední příčka v trojúhelníku CDE. Odtud ale XY a DE jsou rovnoběžky, takže úhly AED a AYX jsou shodné. Stejně tak jsou shodné i úhly BDE a BXY, takže vnitřní úhly čtyřúhelníků ABDE a ABXY jsou shodné, a protože čytřúhelníku ABDE šlo opsat kružnici, tak i čytřúhelníku ABXY půjde opsat kružnici. Jinak se to dá - jak sám říkáš - zobectit. Postačující podmínka je, aby CY / CX = CE / CD, tj. aby trojúhelníky CDE a CXY byly stejnolehlé.