Matematické Fórum

↑ Tomsus:
konstantni funkce neni rostouci, aspon podle definice na wikipedii
A jak je definovana ostre rostouci funkce? ja jsem se s tim pojmem nesetkal. A jak mate nadefinovanou tu rostouci funkci, ze to konstantni funkce splnuje?
------------------------------------------------------------------
Pospíchal. Sluníčko pálilo, čelo už měl zpocené a praménky potu stékaly mu přes obličej až za krk. Nedbal toho. Zdeňa mu řekla: „Přijď brzo! Maminka bude péct škvarkové placičky.“

Ahoj, takze jestli jsem spravne pochopila
1. a -muze byt oK(je ok?),a pote je spravne e, ostatni -b,c,d je spatne?
2. a,b
3. tedy d,e

diky

↑ Slabsí matematik:

Zdravim :-)

ja bych se primluvila za spravnost c) e)

(myslim, ze to bylo rozebrano, nebo alespon castecne, v puvodnim tematu, ne ktery jsem se odkazovala). Vcera jsem byla lehce nerudna, kdyz jsem videla tve zadani (myslim jeho obrazovou kvalitu), snad jsi se moc nezlobila :-)

↑ Slabsí matematik:

ano, c), e) k poslednimu "prepsanemu" zadani (kde je posloupnost (sinn)/n)

Zbytek podivam

↑ Slabsí matematik:

tak muj nazor:
1 - spravne a) (pokud odmyslim poznamku, co dava kolega, ale mam za to, ze odmyslit je mozne) jeste e)

2 - nejak moc vaham  :-) radej prenecham nekomu z kolegu :-)

Teď se veřejně omlouvám za to, že jsem označil za správné tvrzení 2a) které samozřejmě správné není... tato chyba skoro ani omluvitelná není a udelal jsem ze sebe negramota :-(

2b) je pravdivé tvrzení - budto staci najit funkci, ktera to splnuje, anebo staci kouknout na definici limity

a takova funkce je napriklad sin x/x, kdyz delame limitu v nule

Ahoj, tak uz jsem uplne ztracena a nevim, co je tedy spravne, krome prikladu tri, kde jsme se shodli.

Snad nevnesu do toho jeste vice zmatku. Zkusil bych to tedy shrnout a pokud prohlasim cosi za Spatne, pak to i zduvodnim. Jednotlive serie uloh ocisluju v poradi, v jakem se zde vyskytly za sebou (chronologicky). Zde nekolik mych uvah:


1. serie
(a) Spatne. Duvod je zrejmy. Necht I:=(0,1), je takovy interval a necht 0<c<1 (takove cislo c jiste existuje - znama vlastnost realnych cisel). Definuji (spojitou) funkci f(x) na intervalu I takto:

Pak funkce f(x) je rostouci na intervalu (0,1) (to je zrejme). Derivace funkce f(x) na intervalu (0,c) je rovna 1, derivace na intervalu (c,1) je rovna 2. Odtud je a . Tudiz derivace f'(c) neexistuje. Obecna implikace v 1a neni pravdiva. Tedy poznamku o existenci derivace neni mozne vypustit!

Mam take pocit, ze autor ulohy 1a tak trochu zapomnel na jednostranne derivace a na pojem rostouci zprava resp. zleva v pripade uzavreneho intervalu I.
(b) Spatne. Jako protipriklad vemu funkci f(x):=1-|x| s D(f)=R. Prvni derivace neexistuje v bode x=0, tedy x=0 je stacionarnim bodem. Funkce ma v tomto bode ostre lokalni maximum (zrejme), ale f''(0) neexistuje. (EDIT)
(c) Spatne. Staci uvazit funkci f(x)=x/x s jejim maximalnim definicnim oborem. Tato funkce neni spojita v bode x=0, limita v tomto bode vsak existuje a je rovna cislu 1.
(d) Spatne. Vemu treba funkci . Pak plati take f(x)=f'(x). Tedy uvedene dve funkce nejsou jedine, pro ktere to plati.
(e) Spravne. Dukaz jasny.
____________________


2. serie
(a) Spatne. Viz funkce v 1a nebo 1b, popr. o neco jednodussi, treba f(x):=|x|. V 1a je problemovy bod x=c, u ostatnich uvedenych funkci pak bod x=0.
(b) Spravne. Viz 1c.
(c) Spatne. Uvazte treba funkci f(x), ktera je definovana jako funkce v 1a, s tim, ze vezmete opacna znamenka, tedy f(x):= -x na intervalu (0,c) a f(x):= -2x+c na intervalu [c,1), kde 0<c<1.
(d) Spatne. Dukaz jasny.
(e) Spatne. Vezmete funkci f(x):=x*(x-1), kde D(f)=[0,+oo).
____________________


3. serie
(0) Definice arkustangens a jeji graf je mozno nalezt snadno v prislusne stredoskolske literature neb jine vhodne literature.
(a) Spatne. Vysvetloval jsem jiz proc a konstruoval protipriklad, viz zde.
(b) Spatne. Napr. funkce f(x):=x^2 s  D(f)=R ma spojitou derivaci, totiz f'(x)=2x, ale f(x) neni ryze monotonni.
(c) Spatne. Viz zde.
(d) Spravne.
(e) Spravne. Uloha pripousti i vlastni i nevlastni limitu. Neexistuje aritmeticka posloupnost, ktera by nemela vlastni nebo nevlastni limitu.
____________________


4. serie ("necitelna")
(a) Spatne. Teba funkce s D(f)=R. V bode x=0 plati f'(0)=+oo, presto se jedna o funkci vsude spojitou.
(b) Spatne. Treba funkce f(x):=|x| s D(f)=R.
(c) Spravne.
(d) Spatne. Derivace nemusi existovat vubec. Viz funkce v 1a.
(e) Spravne. Dukaz jasny.

↑ Tomsus:

Je to v podstate totez, jako bzs vzal funkci .

↑ Marian: ↑ Tomsus:

zdravim vas, vysvetleni od Mariana je vzdy radostne cteni a nejen nedelni :-)

Kontroluji svoje chyby:

1a, 2c - ma stejny "puvod omylu" - neprepokladala jsem, ze derivace ani nemusi existovat, nejak mi to z formulace nevyznelo, ale budu si pamatovat.

2b - nechala jsem bez odpovedi - stale se mi nezda samotne zadani, jak mam posuzovat ten "vyrok" - to, ze funkce nema vlastni limitu v bode x_0 implikuje, ze nemusi byt v bode x_0 definovana. Ted se neptam ani tak na teoretickou podstatu problemu, jako na to, jak mam pristupovat k posuzovani platnosti takto formulovaneho vyroku - otazka spise cestinarska?

A perlicka nakonec - 1d) se mi zdala temer nejmene problemova - nebot mela takove jasne prakticke zneni - predstavila jsem si funkci f(x) = -e^x a mela jsem jasno :-)

Jinak autor zadani je na foru pomerne znamy (opravdu jako autor zadani, ne jako uživatel) - nevim, zda mel poteseni cist nase rady k prakticke aplikaci derivace ve slovnich ulohach a, pokud cte i tato sdeleni, tak ho srdecne zdravim :-)

↑ jelena:↑ kaja.marik:

Ja vidim problem v 2b ve slove nemusi, ktere mi pripada dosti vagni v matematickych tvrzenich. Ale mozna prave toto byl zamer autora tech otazek. Ale silne o tom pochybuji. Jinak se priklanim k uvaze pana Maříka.

Mel bych jednu poznamku k me uvaze v pripade 1b. Ta uvaha byla chybna. Zaver Spatne sice plati, ale argument byl lichy. Vysvetlim, proc.

Funkce f(x):=1-|x|, D(f)=R je spojita funkce, ktera ma ostre lokalni maxim v bode [0,f(0)]=[0,1]. Derivace je nenulova pro vsechna realna cisla x ruzna od nuly. Presneji,

V bode x=0 derivace f'(x) neexistuje. Tedy jediny stacionarni bod je bod x=0. A nyni uvaha o tom, jak to vypada s druhou derivaci f''(x). Z definice derivace je jasne, ze budeme potrebovat jiste elementy v definicni limite pro derivaci. Chci-li pocitat derivaci jiste funkce v nejakem bode z jejiho definicniho oboru, pak musi byt predne definovana funkce v bode, ve kterem chci vypocist derivaci (at zprava nebo zleva). Budu-li pocitat druhou derivaci v nejakem bode, pak budu logicky potrebovat existenci prvni derivace funkce f(x), tedy f'(0). Ale funkce f(x) je konstruovana tak, ze derivace f'(0) neexistuje. Tedy neplati vyrok, kterym jsem argumentoval, tj. ze u funkce f(x):=1-|x| je situace takova, ze prvni derivace neexistuje a druha ano a je rovna nule, tedy schematicky f'(0) neex. a f''(0)=0.

V zadani one ulohy se ma vysetrit obecna platnost implikace "Je-li f(x) libovolna funkce se stacionarnim bodem x_0 takova, ze v bode x_0 nabyva ostreho lokalniho maxima, pak f''(x_0)<0."

Toto je Spatne, nebot druha derivace vubec existova nemusi (viz konstruovana funkce).

Zaverone implikace se musi toti chapat tak, ze druha derivace f''(x_0) existuje a plati f''(x_0)<0.


Snad je to jiz kompletni. Mate-li nekdo nejake pochybnosti podobneho razu, budu rad, kdyz na ne poukazete. Vyjasnime to alepson.