Matematické Fórum

Mihulik

Ahoj,
cvičně jsem si chtěl dokázat tvrzení:
"Nechť $f:X\rightarrow X$ a nechť pro všechna $g:X\rightarrow X$ platí $f\circ g=g\circ f$ . Dokažte, že pak g je identické zobrazení."

Z toho, co jsem původně zamýšlel jako pětiminutové procvičení, se nakonec vyklubal pěkný zádrhel.
Chtěl jsem to dokázat sporem. Předpokládal jsem, že g není identické, tedy:
$g(f(x))=f(g(x))=a,\:a\in X$
Tedy:
$f(x)=b,\:b\in X\Rightarrow g(b)=a,\:b\neq a$
a
$g(x)=c,\:c\in X\wedge x\neq c\Rightarrow f(c)=a$

A zde jsem se zasekl - nedaří se mi dojít ke sporu.
Možná je můj přístup k důkazu úplně špatný, ale nějak si s tím nevím radou:-/

Byl bych moc vděčný, kdyby mě někdo nakopl, jak dál:)

Děkuji!

FailED · 05. 11. 2011 12:23 — Editoval FailED (05. 11. 2011 12:24)

Ahoj,
pokud je f identita tak to platí pro každé g.

Mihulik · 05. 11. 2011 12:26

O f nic předpokládat nemůžu.:)

FailED · 05. 11. 2011 12:30

je to protipříklad k tomu tvrzení

Pavel Brožek · 05. 11. 2011 12:57

↑ Mihulik:

Nechtěl jsi spíš dokazovat, že pak f je identické zobrazení?

Mihulik · 05. 11. 2011 13:17

Takhle přesně zní zadání.:-/

kaja.marik · 05. 11. 2011 15:15

spatne zadani? odkud je?

Mihulik · 05. 11. 2011 20:32

Je to jedno z mnoha cvičení, které jsme dostali na cvičení z mat. analýzy... seděl jsem u něj dneska hodně dlouho, ale úspěch žádný:/

check_drummer · 05. 11. 2011 20:55

Skoro by se dalo říct, že tvrzení je triviální, protože není splněn předpoklad - až na nějaké speciální případy množiny X.

Mihulik · 05. 11. 2011 21:06

Jsem z toho nějak zmatenej:)

Ips · 06. 11. 2011 17:40

Ten příklad je odtud:

Code:

http://kam.mff.cuni.cz/~sbirka/show_exercise.php?c=87&e=497

a v jeho zadání je zjevně překlep, protože v téhle formulaci opravdu nedává smysl (f je pevně zadané, něco platí pro každé g, dokažte že g je identita?), nehledě na to, že po rozkliknutí řešení již autor vesele dokazuje, že f je identita.

Pavel Brožek · 06. 11. 2011 17:49

Když už tu máme jeden důkaz, přidám svůj (asi kratší a jednodušší).

Snažíme se ukázat, že pro libovolné $a\in X$ platí $f(a)=a$ . Pro dané $a$ tedy zvolme funkci $g$ jako konstantní funkci $g(x)=a$ . Z $f\circ g=g\circ f$ pak plyne

$f(a)=f(g(a))=g(f(a))=a$ ,

to jsme přesně chtěli dokázat.