Matematické Fórum

Anonymystik · 15. 11. 2011 22:32

Zdravím. Pro zájemce sem dám nějaký challegne, tentokrát je to jedna z těch lehčích úloh.

Kvadratická rovnice $x^{2} + ax + b = 0$ má jako kořeny dvojciferná přirozená čísla, která se liší pouze pořadím jednotlivých cifer. O čísle b víme, že po dělení číslem 36 dá zbytek 19. Určete všechny možné takové rovnice a k nim příslušné dvojice kořenů.

kolejo · 06. 01. 2012 22:25

Dobrý večer,
přiznám se, že jsem tuhle úlohu poznal asi před měsícem a moc jsem toho nevymyslel. Podělil jsem se o zadání s jedním pánem, který toho ví hodně o matematice :)
No a ten se podělil se mnou o nějaký postup. Píšu to proto, aby bylo jasno, že jsem to nevymyslel sám nebo aby nikdo neřekl, že vydávám cizí dílo za vlastní.

Chápu, k čemu ta úloha je. Do řešení jsem tedy pronikl, pochopil jsem a nyní to sem dávám. Otázky, které pokládám předem, jsou: "je to tak správně? jak by se to dělalo jinak?"

$b=36n+19=x_1 \cdot x_2$

36-19=17, takže b+17 je dělitelné třiceti šesti.

O b navíc víme, že je liché: 36 krát cokoliv je sudé + liché = sudé
Z toho vyplývá, že b je součin dvou lichých čísel.
Ještě něco: 36n+19 není dělitelné třemi ani čtyřmi

Pokud jsou obě lichá, tak jak a tak aji b musí být z 11 až 19, 31 až 39, 51 až 59 a tak dál...
Po vyškrtnutí těch násobků tří a čtyř, zbude:
11,13,17,19,35,37,55,59,77,79
11*11+17=
13*31+17=
17*71+17=
...
ověříme těchto deset příkladů a výsledek dělitelný třiceti šesti je pouze součin 17*71+17 a 35*53+17.

tákže:
$x^2-88x+1207=(x-17)\cdot (x-71)$
$x^2+88x+1207=(x+17)\cdot (x+71)$
$x^2-88x+1855=(x-35)\cdot (x-53)$
$x^2+88x+1855=(x+35)\cdot (x+53)$

?

Děkuju